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[quote="index_razor"][quote="TheOne1"]Vielen Dank für deine Antwort. Ich fürchte mir ist nicht ganz klar wo der Unterschied zwischen der Forderung bzgl. der Wirkung im Noether-Theorem und die Verwendung der Wirkung bei der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichung. Es kann im beiden Falle ja nicht das selbe sein? Zum einen Verwendet man im Beweis des Noether-Theorems die Euler-Lagrange-Gleichungen und auf der anderen Seite, müsste die Invarianz, welche zu den E-L-Gl. führt, auch sofort eine Symmetrie und somit eine Erhaltungsgröße implizieren. Also würde ich vermuten, dass beide Bedingungen an die Wirkung wesentlich verschieden sind?[/quote] Das folgende ist eher Heuristik. Eigentlich müßte man genauer definieren, was die "Variationen" [latex]\delta x, \delta t[/latex] etc. bedeuten, als ich das tue, aber die Grundidee ist ungefähr die folgende. Wenn man die Variation der Wirkung bezüglich Ort und Zeit ausrechnet, setzt sie sich aus zwei Teilen zusammen: 1) der Funktionalableitung und 2) Randtermen. Nämlich im einzelnen ungefähr so [latex]\delta S = \int\dd t\frac{\delta S}{\delta x}(\delta x - \dot x\delta t) + \int\dd t\frac{\dd}{\dd t}(p\delta x - H\delta t)[/latex] (mit p=kanonischer Impuls, und H = Jacobi-Funktion) Wenn [latex]\delta S=0[/latex] für alle Variationen, [i]die am Rand verschwinden[/i] (dann ist der zweite Term gleich null), dann muß [latex]\frac{\delta S}{\delta x}=0[/latex] sein (Fundamentalsatz der Variationsrechnung). Das liefert die Bewegungsgleichung. Wenn andererseits für bestimmte [latex]\delta x, \delta t[/latex] diese Variation ein totales Zeitdifferential ergibt, d.h. [latex]\delta S = \int \dd F,[/latex] dann folgt [i]aus der Erfüllung der Bewegungsgleichungen[/i], d.h. aus [latex]\frac{\delta S}{\delta x}=0[/latex] die Bezeihung [latex]\frac{\dd}{\dd t}\left(p\delta x - H\delta t - F\right) = 0,[/latex] also ein Erhaltungssatz und die Variationen [latex]\delta x, \delta t[/latex] bilden die Generatoren einer Symmetrietransformation.[/quote]
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jh8979
Verfasst am: 07. Nov 2015 09:23
Titel:
TheOne1 hat Folgendes geschrieben:
... auf der anderen Seite, müsste die Invarianz, welche zu den E-L-Gl. ...
Es führt keine Invarianz zu den Euler-Lagrange-Gleichungen.
index_razor
Verfasst am: 06. Nov 2015 22:35
Titel:
TheOne1 hat Folgendes geschrieben:
Vielen Dank für deine Antwort.
Ich fürchte mir ist nicht ganz klar wo der Unterschied zwischen der Forderung bzgl. der Wirkung im Noether-Theorem und die Verwendung der Wirkung bei der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichung.
Es kann im beiden Falle ja nicht das selbe sein? Zum einen Verwendet man im Beweis des Noether-Theorems die Euler-Lagrange-Gleichungen und auf der anderen Seite, müsste die Invarianz, welche zu den E-L-Gl. führt, auch sofort eine Symmetrie und somit eine Erhaltungsgröße implizieren.
Also würde ich vermuten, dass beide Bedingungen an die Wirkung wesentlich verschieden sind?
Das folgende ist eher Heuristik. Eigentlich müßte man genauer definieren, was die "Variationen"
etc. bedeuten, als ich das tue, aber die Grundidee ist ungefähr die folgende. Wenn man die Variation der Wirkung bezüglich Ort und Zeit ausrechnet, setzt sie sich aus zwei Teilen zusammen: 1) der Funktionalableitung und 2) Randtermen. Nämlich im einzelnen ungefähr so
(mit p=kanonischer Impuls, und H = Jacobi-Funktion)
Wenn
für alle Variationen,
die am Rand verschwinden
(dann ist der zweite Term gleich null), dann muß
sein (Fundamentalsatz der Variationsrechnung). Das liefert die Bewegungsgleichung.
Wenn andererseits für bestimmte
diese Variation ein totales Zeitdifferential ergibt, d.h.
dann folgt
aus der Erfüllung der Bewegungsgleichungen
, d.h. aus
die Bezeihung
also ein Erhaltungssatz und die Variationen
bilden die Generatoren einer Symmetrietransformation.
TheOne1
Verfasst am: 06. Nov 2015 21:11
Titel:
Vielen Dank für deine Antwort.
Ich fürchte mir ist nicht ganz klar wo der Unterschied zwischen der Forderung bzgl. der Wirkung im Noether-Theorem und die Verwendung der Wirkung bei der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichung.
Es kann im beiden Falle ja nicht das selbe sein? Zum einen Verwendet man im Beweis des Noether-Theorems die Euler-Lagrange-Gleichungen und auf der anderen Seite, müsste die Invarianz, welche zu den E-L-Gl. führt, auch sofort eine Symmetrie und somit eine Erhaltungsgröße implizieren.
Also würde ich vermuten, dass beide Bedingungen an die Wirkung wesentlich verschieden sind?
jh8979
Verfasst am: 06. Nov 2015 20:00
Titel: Re: Euler-Lagrange-Gleichungen und Noether-Theorem
Die Aussage des Noether-Theorems ist folgende:
1. Eine (globale) Symmetrietransformation (mit Parameter
) ist eine Transformation der Felder unter der
gilt, selbst wenn die Felder
nicht
die Bewegungsgleichungen erfüllen. Das ist im wesentlichen die Definition einer Symmetrietransformation.
2. Für die gleiche Transformation aber mit x-abhängigem Parameter
gilt dann notwendigerweise
für irgendeine Funktion
.
3. Wenn die Felder jetzt
zusätzlich
die Bewegungsgleichungen erfüllen, dann gilt
. D.h. der Strom ist erhalten und die korrespondierende Ladung auch.
Ich hoffe das hilft ein wenig.
TheOne1
Verfasst am: 06. Nov 2015 19:41
Titel: Euler-Lagrange-Gleichungen und Noether-Theorem
Hallo,
die Euler-Lagrangegleichungen lassen sich ja über infinitesimale Transformationen aus dem Variationsprinzip mit
herleiten.
Nun stellst sich mir aber die Frage, inwiefern dies mit dem Noether-Theorem zusammenpasst? Hier habe ich als Voraussetzung Transformationen, welche die Wirkung invariant lassen (dies sollt doch gleichbedeutend mit
sein, oder?), dann gäbe es aber nach dem Theorem eine Erhaltungsgröße?
Irgendwie sehe ich nicht ganz wo der Unterschied zwischen den beiden Dingen ist und warum es keine Erhaltungsgröße gibt bzw. dies nicht zu einer Symmetrie führt.
Vielen Dank für eure Hilfe
TheOne