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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="ML"]Hallo,

[quote="streikender-lokführer"]Kann man die funktion
x(t)=cos²(t)
auch ohne partielle Integration integrieren?
[/quote]

bei Sinus und Cosinus kann man die Additionstheoreme oft auch elegant durch Nutzung der komplexen e-Funktion umgehen. Der Cosinus lässt sich beispielsweise so ausdrücken*:

[latex]\cos(t) = \frac{1}{2} \cdot \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t}\right)[/latex]

Dementsprechend gilt nach dem Ausmultiplizieren:

[latex]\cos^2(t) = \frac{1}{4} \cdot \left(\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t} + 2 \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{\mathrm{i}t} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t}}_{=1} + \mathrm{e}^{-2\mathrm{i}t}\right)[/latex]

Die Stammfunktion bildest Du nun wie bei einer normalen e-Funktion:

[latex]\int \cos^2(t) \cdot \mathrm{d}t = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{1}{2\mathrm{i}}\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t} + 2\cdot t + \frac{1}{-2\mathrm{i}} \mathrm{e}^{-2\mathrm{i}t}\right) = \frac{1}{2} t +  \frac{1}{8\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t} - \mathrm{e}^{-2\mathrm{i}t} \right)[/latex]

Die Exponentialfunktionen lassen sich mit der 3. Binomischen Formel [latex]a^2-b^2 = (a-b) \cdot (a+b)[/latex] zu einem Produkt umformen:

[latex]= \frac{1}{2} t +  \frac{1}{2} \underbrace{\frac{1}{2\mathrm{i}i} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t} \right)}_{\sin(t)} \cdot \underbrace{\frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t} \right)}_{\cos(t)} = \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} \sin(t) \cdot \cos(t) [/latex]

Viele Grüße
Michael

*Falls Du das nicht kennst, mal Dir mal die Zeiger der e-Funktionen für einen bestimmten (gleichen) Winkel auf. Du siehst es dann sofort![/quote]

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