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[quote="Gani"][b]Meine Frage:[/b] Gegeben ist ein unendlich langes Koaxialkabel mit Aussen- und Innenleiter. Sei der Aussenleiter auf dem Potenzial [latex]\phi_{a} = 0[/latex], der Innenleiter auf dem Potenzial [latex]\phi_{i} = \phi_{0}[/latex]. Das Kabel ist als ganzes ungeladen. Die Geometrie: Man betrachte den Querschnitt von dem Kabel. Im Zentrum von dem Kabel befinde sich [latex]\rho = 0[/latex]: [latex]0 \leq \rho < R_{1}[/latex]: Innenleiter [latex]R_{1} < \rho < R_{2}[/latex]: Vakuum [latex]R_{2} < \rho < R_{3}[/latex]: Aussenleiter [latex]\rho > R_{3}[/latex]: Vakuum Man berechne mit das elektrische Feld [latex]\vec{E}(\vec{r}) [/latex] im ganzen Raum. Ich habe das gelöst, bin mir aber gar nicht sicher, ob man so was machen darf. [b]Meine Ideen:[/b] [latex]\int_0^{R_{3}} \! \vec{E}(\rho) \, \dd \rho = \phi_{0} - 0 = \phi_{0}[/latex] [latex]\int_0^{R_{3}} \! \vec{E}(\rho) \, \dd \rho = \int_0^{R_{1}} \! \vec{E}(\rho) \, \dd \rho + \int_{R_{1}}^{R_{2}} \! \vec{E}(\rho) \, \dd \rho + \int_{R_{2}}^{R_{3}} \! \vec{E}(\rho) \, \dd \rho[/latex] Da das Potenzial innerhalb von den Leitern konstant ist, ist auch Integral dort gleich null (ist es richtig?). Deswegen gilt: [latex]\int_0^{R_{3}} \! \vec{E}(\rho) \, \dd \rho = \int_{R_{1}}^{R_{2}} \! \vec{E}(\rho) \, \dd \rho[/latex]. Das elektrische Feld zwischen R1 und R2 ist nur von dem Innenleiter abhängig, denn der Aussenleiter eine geschlössene Figur ist. Bezeichen wir mit [latex]\rho \rightarrow \vec {E_{i}} (\rho), \rho \in [R_{1}, R_{2}][/latex] die Funktion des Feldes innerhalb des Kabels: Mit dem Gausschen Satz angewendet: [latex]\vec {E_{i}} (\rho) = \vec{e_{r}} \frac{Q_{i}}{4\pi\epsilon_{0}\rho^{2}} = \vec{e_{r}} \frac{Q_{i}}{\epsilon_{0}*2\pi*\rho*L} = \vec{e_{r}} \frac{\pi*R_{1}^{2}*\rho_{Dichte,i}*L}{\epsilon_{0}*2\pi*\rho*L} =\vec{e_{r}} \frac{R_{1}^{2}\rho_{Dichte,i}}{2\epsilon_{0}\rho}[/latex] Finden wir die Ladung im Aussenleiter: [latex]\int_0^{R_{3}} \! \vec{E}(\rho) \, \dd \rho = \int_{R_{1}}^{R_{2}} \! \frac{R_{1}^{2}\rho_{Dichte,i}}{2\epsilon_{0}\rho} \, \dd \rho = \frac{R_{1}^{2}\rho_{Dichte,i}*\ln(\frac{R_{2}}{R_{1}})}{2\epsilon_{0}} = \phi_{0} \Rightarrow \rho_{Dichte,i} = \frac{2\epsilon_{0}\phi_{0}}{R_{1}^{2}ln(\frac{R_{2}}{R_{1}})}[/latex] [latex]Q_{i} = \rho_{Dichte,i}\pi R_{1}^{2}L \Rightarrow Q_{a} = -Q_{i} = -\frac{2\epsilon_{0} \phi_{0}\pi*L}{\ln(\frac{R_{2}}{R_{1}})}[/latex] Finden wir das elektrische Feld für [latex]\rho > R3[/latex]: [latex]\vec{E} = \vec{E_{i}} + \vec{E_{a}}[/latex] [latex]E_{a} * 2\pi \rho L = \frac{Q_{a}}{\epsilon_{0}} \Rightarrow \vec{E_{a}} = - \vec{e_{r}}\frac{\phi_{0}} {\rho \ln(\frac{R_{2}}{R_{1}})}[/latex] [latex]\vec{E_{i}} = \vec{e_{r}} \frac{R_{1}^{2}\rho_{Dichte,i}}{2\epsilon_{0}\rho}[/latex] [latex]\rho_{Dichte,i} = \frac{2\epsilon_{0}\phi_{0}}{R_{1}^{2}ln(\frac{R_{2}}{R_{1}})} \Rightarrow \vec{E_{i}} = \vec{e_{r}} \frac{\phi_{0}}{\rho\ln(\frac{R_{2}}{R_{1}})}[/latex] [latex]\vec{E} = \vec{E_{i}} - \vec{E_{i}} = \vec{0}[/latex] D.h. das Feld existiert nur zwischen dem Innen- und Aussenleiter, und es ist gleich [latex]\vec{E_{i}} = \vec{e_{r}} \frac{\phi_{0}}{\rho\ln(\frac{R_{2}}{R_{1}})}[/latex][/quote]
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Nachricht
Gani
Verfasst am: 11. Jul 2015 07:06
Titel: Elektrisches Feld eines unendlich langen Koaxialkabels
Meine Frage:
Gegeben ist ein unendlich langes Koaxialkabel mit Aussen- und Innenleiter. Sei der Aussenleiter auf dem Potenzial
,
der Innenleiter auf dem Potenzial
.
Das Kabel ist als ganzes ungeladen.
Die Geometrie:
Man betrachte den Querschnitt von dem Kabel. Im Zentrum von dem Kabel befinde sich
:
: Innenleiter
: Vakuum
: Aussenleiter
: Vakuum
Man berechne mit das elektrische Feld
im ganzen Raum.
Ich habe das gelöst, bin mir aber gar nicht sicher, ob man so was machen darf.
Meine Ideen:
Da das Potenzial innerhalb von den Leitern konstant ist, ist auch Integral dort gleich null (ist es richtig?). Deswegen gilt:
.
Das elektrische Feld zwischen R1 und R2 ist nur von dem Innenleiter abhängig, denn der Aussenleiter eine geschlössene Figur ist. Bezeichen wir mit
die Funktion des Feldes innerhalb des Kabels:
Mit dem Gausschen Satz angewendet:
Finden wir die Ladung im Aussenleiter:
Finden wir das elektrische Feld für
:
D.h. das Feld existiert nur zwischen dem Innen- und Aussenleiter, und es ist gleich