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[quote="Jayk"]Noch eine Möglichkeit, wie man das ganz einfach ohne Additionstheorem sehen kann: [latex]a \cos \omega t + b \sin \omega t = a \Re e^{i \omega t} + b \Im e^{i \omega t} = a \Re e^{i \omega t } - b \Re i e^{i \omega t } = \Re (a - b i) e^{i \omega t} =[/latex] [latex]= \Re \sqrt{a^2 + b^2} e^{i (\omega t - \arctan (b / a) )}[/latex].[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Jul 2015 19:53<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Noch eine Möglichkeit, wie man das ganz einfach ohne Additionstheorem sehen kann: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a \cos \omega t + b \sin \omega t = a \Re e^{i \omega t} + b \Im e^{i \omega t} = a \Re e^{i \omega t } - b \Re i e^{i \omega t } = \Re (a - b i) e^{i \omega t} ="> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?= \Re \sqrt{a^2 + b^2} e^{i (\omega t - \arctan (b / a) )}">.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Jul 2015 19:47<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a = A \cos \alpha"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?b = - A \sin \alpha"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Jul 2015 19:38<span class="gen"> </span> Titel: Harmonische ungedämpfte Schwingung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Guten abend, <br /> <br />Für den freien harmonischen Oszillator, gilt die folgende lineare homogene Dgl. 2 Ordnung: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot{x}+\omega_0 \cdot x=0"> <br /> <br />Als allgemeine Lösung, gilt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)=a \cdot cos(\omega_0 \cdot t)+b \cdot sin(\omega_0 \cdot t)"> <br /> <br />Mithilfe des Additionstheorems der trigonometrischen Funktionen, lässt sich die Gleichung auch als phasenverschobener Kosinus darstellen. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)=A \cdot cos(\omega_0 \cdot t+\alpha)"> <br /> <br />Wie kommt man nun mithilfe des Additionstheorems auf den genannten Kosinusausdruck?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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