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So gehts:
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[quote="Henri"]Das System ist dreidimensional. Die erste Ordnung scheint tatsächlich zu verschwinden. Ich hatte allerdings gerade noch eine andere Idee. Und zwar habe ich angefangen die Kommutatoren [latex][\hat{r}^2,\hat{L}_z],~[\hat{x}^2,\hat{L}_z][/latex] zu berechnen, welche glaube ich verschwinden (die Rechnung wird bei mir seitenlang, vielleicht kann man das einfacher herleiten ?( ). Jedenfalls kommutieren dann doch auch H_0 und H_1 und [latex]\left| n_x n_y n_z \right> [/latex] ist auch Eigenbasis zu L_z, woraus dann folgen würde: [latex]\hat{H} \left| n_x n_y n_z \right> = \hbar \omega (n_x + n_y + n_z + \frac{3}{2} ) \left| n_x n_y n_z \right> - \omega_z m_z \hbar \left| n_x n_y n_z \right> = \left( \hbar \omega (n_x + n_y + n_z + \frac{3}{2} ) - \omega_z m_z \hbar \right) \left| n_x n_y n_z \right>[/latex] Müsste das nicht der einfachere Weg sein ?( Lg[/quote]
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TomS
Verfasst am: 22. Jun 2015 23:09
Titel:
Mit deiner Beobachtung hast du recht.
Es gilt
Der Kommutator berechnet sich zu
Gemäß der elementaren Regeln ist jedoch
und damit
Nun drückt man alle Operatoren mittels Erzeuger und Vernichter aus.
Daraus folgt
Für die z-Komponente des Drehimpulses folgt durch Einsetzen
Nun betrachte die Wirkung des Operators auf einen Eigenzustand
D.h. der Opeator überführt den Eigenzustand in einen
neuen
Eigenzustand der
selben
Energie, d.h.
bleibt bei Einwirken des Operators auf den Zustand invariant.
Zitat:
woraus dann folgen würde ...
Nein, daraus folgt noch nicht, dass der gestörte Hamiltonoerator die selben Eigenzustände hat. Es handelt sich um Linearkombinationen jeweils innerhalb des Unterraumes zu konstanter Energie (des ungestörten Operators).
Mein Ansatz wäre
Zitat:
Müsste das nicht der einfachere Weg sein ?
Ja, ich denke schon.
Henri
Verfasst am: 22. Jun 2015 13:34
Titel:
Das System ist dreidimensional. Die erste Ordnung scheint tatsächlich zu verschwinden. Ich hatte allerdings gerade noch eine andere Idee. Und zwar habe ich angefangen die Kommutatoren
zu berechnen, welche glaube ich verschwinden (die Rechnung wird bei mir seitenlang, vielleicht kann man das einfacher herleiten
).
Jedenfalls kommutieren dann doch auch H_0 und H_1 und
ist auch Eigenbasis zu L_z, woraus dann folgen würde:
Müsste das nicht der einfachere Weg sein
Lg
TomS
Verfasst am: 21. Jun 2015 22:23
Titel:
Ist dein System zwei- oder dreidimensional?
In drei Dimensionen wären die ungestörten Eigenzustände die des harmonischen Oszillators
Der ungestörte Hamiltonoperator lautet
Für den Drehimpuls gilt
Nun kannst du diesen Operator durch Erzeuger und Vernichter ausdrücken und die Störungstheorie erster und zweiter Ordnung berechnen.
Beachte dabei, dass deine Eigenzustände entartet sind. Z.B. haben
und
die selbe Energie.
Ich denke, der Term erster Ordnung verschwindet, da die Störung jeweils nur einen Erzeuger oder Vernichter in einer Koordinate enthält. Es ist z.B.
Für nicht-verschwindende Matrixelemente müssten diese jedoch paarweise in einer Koordinate auftreten.
Daher benötigst du m.E. sofort die Störungstheorie zweiter Ordnung unter Berücksichtigung von Entartung.
Henri
Verfasst am: 21. Jun 2015 19:24
Titel: Harmonischer Oszillator mit Störung
Hi,
Ich habe hier einen Hamiltonoperator:
und suche Eigenwerte und Eigenfunktionen. Nun habe ich mir den Ansatz mittels Störungstheorie aufgeschrieben, scheitere aber am Berechnen von
mit |n> Eigenzustände des ungestörten harmn. Oszillators. Leider gelingt es mir hier auch nicht, den Ortsoperator elegant umzuformen und darüber zu argumentieren
Lg