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[quote="jh8979"][quote="Leonie mag Physik"]Ich habe sowas gefunden wie die Rückstellkraft proportional zum Sinus ist, wird die Periodendauer größer? Wie kommt das zu Stande... [/quote] Richtig. Die korrekte Einwirkende Kraft ist ~ Sin(Winkel), während in der Kleinwinkelnäherung gilt : einwirkende Kraft ~ Winkel. Wenn Du Dir jetzt mal diese beiden Funktionen aufzeichnest, kriegst Du vielleicht eine Idee, wieso die wahre Periodendauer bei grossen Winkeln Größer ist als die, die man aus der Kleinwinkelnäherung erhält.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>hansguckindieluft</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jun 2015 19:49<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br />hast Du denn mittlerweile erkannt, dass die Rückstellkraft vom Sinus des Winkels abhängt? <br /> <br />Wenn nicht: Zeichne Dir mal ein (mathematisches) Pendel auf, welches um den Winkel φ etwas aus seiner Ruhelage ausgelenkt ist. Dann wirkt im Schwerpunkt angreifend und vertikal nach unten gerichtet die Gewichtskraft m*g. Tangential zur Bahnkurve des Schwerpunktes wirkt die Rückstellkraft. Und diese ist dann m*g*sin(φ). <br />Stellt man nun das Momentengleichgewicht um den Drehpunkt auf, erhält man die Bewegungsgleichung des Pendels: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \ddot{\varphi} +\dfrac {g}{l}\cdot \sin \left( \varphi \right) =0 "> <br /> <br />Weil der Winkel φ dort nicht "alleine" steht, sondern der Sinus des Winkels, ist das eine nichtlineare Differentialgleichung. Interessiert man sich nur für kleine Winkelausschläge des Pendels, kann man in guter Näherung den Sinus(φ) = φ setzen. Damit wird aus der Differentialgleichung eine lineare Differentialgleichung, was die Lösung sehr erleichtert: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \ddot{\varphi} +\dfrac {g}{l}\cdot \varphi =0 "> <br /> <br />Bei größeren Winkelausschlägen wird die Lösung der linearisierten DGL aber immer ungenauer, da die Rückstellkraft eben in Wahrheit vom Sinus des Winkels abhängig ist. Um herauszufinden, in welche Richtung die Abweichung geht, musst Du dir überlegen, ob bei größeren Winkeln der Winkel oder sein Sinus größer ist. <br /> <br />Im Anhang habe ich mal die Schwingung eines mathematischen Pendels mit der Pendellänge 1m aufgetragen. Als Anfangswert habe ich einen Winkel von 90° angenommen (also einen sehr großen Winkel, bei dem die linearisierung der DGL zu großen Abweichungen führt). Die Periodendauer des linearisierten Pendels ist in diesem Fall ja ca. 2 Sekunden (unteres Bild). Im zweiten Bild siehst Du die (numerische) Lösung der nichtlinearen DGL. Die Periodendauer ist deutlich länger als 2 Sekunden (oberes Bild). <br /> <br />Beim physikalischen Pendel (wie in Deinem Beispiel) sind die Zusammenhänge analog. <br /> <br />Gruß</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Leonie mag Physik</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Jun 2015 20:39<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja... <img src="images/smiles/frown2.gif" alt="unglücklich" border="0" /> Mir kam dann ja die Idee mit der Strecke, aber naja du erwähnst ja mein Gewusel was nichts damit zu tun hat *schäm*</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Jun 2015 20:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die Kraft ist Größer als bei kleinerer Auslenkung, aber darum geht es nicht...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Leonie mag Physik</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Jun 2015 20:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich würde sagen, dass der größere Winkel den Unterschied macht? In einem System das weiter ausgelenkt wird, da ist ja die Kraft höher, weil man ja mehr Kraft aufbringen muss. Das beantwortet aber nicht die Frage nach der Dauer mhm. Ich würde sagen, längerer Weg braucht mehr Zeit obwohl die Kraft größer sein mag, aber die Reibung könnte es immer noch kompensieren?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Jun 2015 20:04<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Dir Kraft die tatsächlich wirkt ist proportional zum Sinus vom Winkel. Die Kraft die man in der Kleinwinkelnäherung annimmt ist linear im Winkel. Wenn Du die jetzt vergleichst, fällt Dir vielleicht was auf für großes Winkel, was begründen könnte wieso die gemessene Periodendauern Größer ist als die aus der Kleinwinkelnaeherung errechnete.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Leonie mag Physik</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Jun 2015 19:56<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>jh8979 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Die korrekte Einwirkende Kraft ist ~ Sin(Winkel)</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />korrekt einwirkende Kraft? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>jh8979 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />wieso die wahre Periodendauer bei grossen Winkeln Größer ist als die, die man aus der Kleinwinkelnäherung erhält.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Aber wie soll ich das zeichnen, bzw. was genau?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Jun 2015 17:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Leonie mag Physik hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich habe sowas gefunden wie die Rückstellkraft proportional zum Sinus ist, wird die Periodendauer größer? Wie kommt das zu Stande... <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Richtig. Die korrekte Einwirkende Kraft ist ~ Sin(Winkel), während in der Kleinwinkelnäherung gilt : einwirkende Kraft ~ Winkel. Wenn Du Dir jetzt mal diese beiden Funktionen aufzeichnest, kriegst Du vielleicht eine Idee, wieso die wahre Periodendauer bei grossen Winkeln Größer ist als die, die man aus der Kleinwinkelnäherung erhält.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Leonie mag Physik</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Jun 2015 17:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich habe sowas gefunden wie die Rückstellkraft proportional zum Sinus ist, wird die Periodendauer größer? Wie kommt das zu Stande... <br /> <br />Claudia</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Jun 2015 17:10<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="color: blue">[Ich hab mal Deinen Latex-Fehler behoben.]</span> <br /> <br />Ich hab Deine Werte nicht nachgerechnet, aber Deine Vorgehensweise an sich ist richtig. <br /> <br />zu b): Bei der Herleitung der Formel für T, die Du benutzt hast, wird angenommen, dass die Ausrenkung nur klein. Bei grossen Ausrenkungen erhält man keine Sinus/Kosinus-Schwingungen mehr, sondern es wird etwas komplizierter. Für das mathematische Pendel ist das z.B. hier beschrieben: <br /><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mathematics)#Arbitrary-amplitude_period" target="_blank">http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mathematics)#Arbitrary-amplitude_period</a> <br />Du sollst das vermutlich nicht so ausführlich machen, sondern nur in Worten was dazu sagen nehme ich an <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Leonie mag Physik</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Jun 2015 16:33<span class="gen"> </span> Titel: S. von Steiner Kugel, Schwingungsdauer</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hey ich habe eine Frage bezüglich meiner Aufgabe. Den ersten Teil denke ich, dass ich korrekt gelöst habe. Wäre nett wenn ihr drüberschauen könntet, also es ist eine ausgedehnte homogene Kugel die an einem kurzen Faden mit vernachlässigbarer Masse hängt. Die Länge des Fadens beträgt l = 0,1m, der Durchmesser der Kugel beträgt D = 0,2m, die Masse der Kugel beträgt m = 1kg <br /> <br />a) Bestimmen Sie die Schwingungsdauer des physikalischen Pendels für kleine Amplituden. <br /> <br />b) Wie ändert sich die Schwingungsdauer bei großen Amplituden? Begründen Sie Ihre Antwort. <br /> <br />Zuerst habe ich das Trägheitsmoment der Kugel berechnet: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?J_s = \frac{2}{5} m R^2 = \frac{2}{5} \cdot 1kg \cdot (0,1m)^2 = 0,004 kg m^2"> <br /> <br />Die Kugel ist ja aber verschoben um die Länge des Faden plus den Radius der Kugel, also der Faden ist zwar oben auf der Kugel befestigt aber man muss noch den Radius draufaddieren, wenn ich den Satz von Steiner verwenden möchte. Es wird ja der Abstand zum Schwerpunkt gebraucht. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?J = J_s + m \cdot r^2"> <br /> <br />Also ist das <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r = l + \frac{D}{2} = 0,1m + 0,1m = 0,2m"> <br /> <br />Somit in der Summe <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?J = J_s + m \cdot r^2 = 0,004 kg m^2 + 1 kg \cdot (0,2m)^2 = 0,044kg m^2"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T = 2 \pi \sqrt{\frac{J}{m \cdot g \cdot r}} = 2 \pi \sqrt{\frac{0,044kg m^2}{1kg \cdot 9,81 frac{m}{s^2} \cdot 0,2m}} = 0,94s"> <br /> <br />Ist das so in Ordnung? <br /> <br />Bei der b) ist mir jedoch unklar was genau verlangt wird. Die Schwingungsdauer ändert sich bei großen Amplituden, dass ist klar. Aber was dann genau sein soll bei großen Amplituden? Könnte mir jemand dies näher bringen? <br /> <br />Das wäre super, <br /> <br />dankend grüßt Leonie</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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