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[quote="Jayk"]Nochmal vielen Dank für Deine Antwort, TomS! Ich habe bei Thirring noch eine Bemerkung gefunden, daß der mit dem Noethertheorem abgeleitete kanonische Energie-Impulstensor nicht ganz mit dem elektromagnetischen Energie-Impulstensor übereinstimmt: Dort wird vorgerechnet [latex]- L_X A \wedge * dA + \frac 1 2 i_X (dA \wedge * dA) = - \frac 1 2 i_X F \wedge *F + \frac 1 2 F \wedge i_X *F - (d i_X A) \wedge * F[/latex]. Der Term [latex](d i_X A) \wedge * F[/latex] ist zwar für ladungs- und stromfreie Gebiete exakt und damit letztlich irrelevant, ist aber nicht eichinvariant und wird deshalb weggelassen. Das mit der Hamiltondichte muß ich mir noch anschauen.[/quote]
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Jayk
Verfasst am: 02. Jun 2015 16:15
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Jayk hat Folgendes geschrieben:
Der Term ... ist aber nicht eichinvariant und wird deshalb weggelassen.
Das ist seltsam. Ich denke eher, der Term müsste einer "reinen Eichung" oder einer Divergenz entsprechen; zumindest ist das immer das Argument, um diverse Terme wegzulassen.
Aber ja, unterschiedliche Ansätze führen auf unterschiedliche Tensoren "modulo einer Eichung" oder "modulo Oberflächentermen".
Sorry, das war vielleicht mißverständlich formuliert. Letzteres ist der Fall: Es ist eine Divergenz.
Originalformulierung:
Zitat:
Anwendung auf das elektromagnetische Feld. (2.1.7)
Falls J=0 und
, gilt
Bemerkungen. (2.1.8)
1. Wie wir sehen, tritt für
neben den in (1.3.22) gegebenen elektromagnetischen Energie-Impuls-Formen
noch ein Term
auf. Diese 3-Form ist im Falle J=0 exakt,
, so daß die Behauptung (2.1.7) ein Spezialfall von (1.3.24) ist. Nur enthält dieser Term nicht allein F, sondern leider auch A, und ist daher eichvariant. Dies steht nicht im Widerspruch zur Eichinvarianz von
(falls J=0): Schon in der Punktmechanik eines freien Teilchens ist der Drehimpuls
nicht translationsinvariant,
aber schon.
TomS hat Folgendes geschrieben:
Es ist natürlich auch nicht unmittelbar einsichtig, dass die Legendretransformation sowie die Anwendung des Noether-Theorems auf verwandte Objekte führen ;-)
Das ist es allerdings nicht.^^ Das hieß für mich einfach: Den Hamiltonformalismus kenne ich noch nicht, aber wenn ich mich eingelesen habe, schaue ich mir die Sache nochmal an. Aber ich bin wirklich gut darin, mir solche Dinge über Jahre zu merken. ;)
TomS
Verfasst am: 02. Jun 2015 08:58
Titel:
Jayk hat Folgendes geschrieben:
Ich habe bei Thirring noch eine Bemerkung gefunden, daß der mit dem Noethertheorem abgeleitete kanonische Energie-Impulstensor nicht ganz mit dem elektromagnetischen Energie-Impulstensor übereinstimmt.
Der Term ... ist aber nicht eichinvariant und wird deshalb weggelassen.
Das ist seltsam. Ich denke eher, der Term müsste einer "reinen Eichung" oder einer Divergenz entsprechen; zumindest ist das immer das Argument, um diverse Terme wegzulassen.
Aber ja, unterschiedliche Ansätze führen auf unterschiedliche Tensoren "modulo einer Eichung" oder "modulo Oberflächentermen".
Jayk hat Folgendes geschrieben:
Das mit der Hamiltondichte muß ich mir noch anschauen.
Es ist natürlich auch nicht unmittelbar einsichtig, dass die Legendretransformation sowie die Anwendung des Noether-Theorems auf verwandte Objekte führen ;-)
Bei Eichtheorien ist es außerdem etwas heikel, mit den Constraints umzugehen sowie die Eichsymmetrie korrekt im Hamiltonian zu implementieren. Grob gesprochen dürfen Constraints nicht direkt in H verwendet werden, sondern erst nach der Ableitung der kanonischen Bewegungsgleichungen; andernfalls verliert man die secondary Constraints, in unseren Fall das Gaußschen Gesetz. Ist man jedoch ausschließlich an H als Energiedichte interessiert, dann dürfen Constraints und Eichbedingungen sofort verwendet werden.
Jayk
Verfasst am: 28. Mai 2015 22:39
Titel:
Nochmal vielen Dank für Deine Antwort, TomS! Ich habe bei Thirring noch eine Bemerkung gefunden, daß der mit dem Noethertheorem abgeleitete kanonische Energie-Impulstensor nicht ganz mit dem elektromagnetischen Energie-Impulstensor übereinstimmt: Dort wird vorgerechnet
.
Der Term
ist zwar für ladungs- und stromfreie Gebiete exakt und damit letztlich irrelevant, ist aber nicht eichinvariant und wird deshalb weggelassen.
Das mit der Hamiltondichte muß ich mir noch anschauen.
TomS
Verfasst am: 23. Mai 2015 21:56
Titel:
So wie du das ableitest sehe ich das auch nicht sofort.
Ich habe immer
gesetzt; und wenn man beachtet, dass
sein muss, dann passt das auch. Außerdem erinnere ich mich, dass du unterschiedliche Energie-Impuls-Tensoren je nach Herleitung erhältst, diese jedoch modulo einer Symmetrie äquivalent sind.
Jayk
Verfasst am: 23. Mai 2015 20:36
Titel: Elektromagnetische Energiedichte und Noethertheorem
Hallo!
Die Energiedichte des Elektromagnetischen Feldes hat in natürlichen Einheiten den Wert
Ich versuche, dieses Resultat nachzuvollziehen (ich verwende -+++).
Die elektromagnetische Lagrangedichte für ladungs- und stromfreie Systeme ist
Dabei ist
,
.
Für ein Killingvektorfeld
bekommt man einen erhaltenen Strom
,
d.h.
Speziell für Zeittranslationen
bekommt man so den Energiestrom
(*)
Die Zeitkomponente ist die Energiedichte
.
Um den Term (*) zu berechnen, zunächst:
Da ich erstmal nur an der Zeitkomponente interessiert bin, genügt es,
in der Formel (*) zu betrachten. Zu berechnen ist also zunächst
,
wobei der Teil ... unwichtig ist, da der Summand nichts zur Zeitkomponente beiträgt. In den nichtverschwindenden Termen ist i=j, also
Nun ist
, also wäre der erste Summand
. Und damit wäre die Energiedichte
.
Nun würde ich mir wegen des Vorzeichens nicht so viele Gedanken machen, zumal ich unterschiedliche Konventionen für den Noetherstrom gesehen habe (die Energiedichte ist natürlich trotzdem positiv). Nun sollte aber an Stelle von
so etwas wie
stehen. Nun ist aber
. Aus der obigen Formel sehe ich aber nicht, wo ich noch ein
herzaubern sollte...
Naheliegend wäre ja, den Fehler bei der Berechnung der Lie-Ableitung zu vermuten. Ich meine aber, sie ist richtig:
.
Hat jemand eine Idee?