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[quote="Widderchen"][b]Meine Frage:[/b] Hallo, ich soll die folgende Identität zeigen: [latex] \sum\limits_{k=1}^{3} \epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} = c(\delta_{il} \delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl}) [/latex] und die Konstante c bestimmen. [b]Meine Ideen:[/b] Ich vermute, dass c = 1 gelten soll. Ich habe zunächst alle drei Summanden für k = 1,2,3 aufgeschrieben. Nun gibt es ja drei verschiedene Fälle für das Levi-Civita-Symbol: bei mindestens zwei identischen Indizes hat dieses Symbol den Wert 0, bei einer antizyklischen Permutation den Wert -1 und bei einer zyklischen Permutationsfolge der Indizes nimmt es den Wert +1 an. Es können also nur die Summanden 0 , 1 und -1 entstehen, verstehe ich das richtig? Allerdings weiß ich immer noch nicht so recht, wie ich das geschickt notieren bzw. wie ich das Kronecker-Delta einbeziehen soll! Viele Grüße Widderchen[/quote]
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jh8979
Verfasst am: 25. Apr 2015 23:16
Titel:
Die konzeptionell einfachste Lösung ist einfach alle möglichen Kombinationen (ijlm) auszuprobieren und festzustellen, dass die Identität mit bestimmtem c stimmt.
Die am wenigstens arbeitsaufwendige (und eleganteste) Lösung, besteht darin zuerst zu argumentieren wieso entweder i=l oder i=m (analog j=m oder j=l) gelten muss, um nicht 0 zu erhalten, und dass der Ausdruck somit wegen der Antisymmetrie in (ij) und (lm) somit diese Form haben muss, und dann die Konstante c zu bestimmen.
Widderchen
Verfasst am: 25. Apr 2015 22:45
Titel: Levi-Civita-Symbol Kronecker-Delta Relation
Meine Frage:
Hallo,
ich soll die folgende Identität zeigen:
und die Konstante c bestimmen.
Meine Ideen:
Ich vermute, dass c = 1 gelten soll.
Ich habe zunächst alle drei Summanden für k = 1,2,3 aufgeschrieben. Nun gibt es ja drei verschiedene Fälle für das Levi-Civita-Symbol:
bei mindestens zwei identischen Indizes hat dieses Symbol den Wert 0, bei einer antizyklischen Permutation den Wert -1 und bei einer zyklischen Permutationsfolge der Indizes nimmt es den Wert +1 an.
Es können also nur die Summanden 0 , 1 und -1 entstehen, verstehe ich das richtig?
Allerdings weiß ich immer noch nicht so recht, wie ich das geschickt notieren bzw. wie ich das Kronecker-Delta einbeziehen soll!
Viele Grüße
Widderchen