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[quote="schnudl"]Die Fläche unter der Kurve f(x) zwischen a und b schreibt man symbolisch als [latex]\int_a^b f(x) \cdot dx[/latex] Wenn f(x) nicht von x abhängt (konstant ist = k) so kann man das aus dem Integral rausziehen - denn eine 3 mal grössere Funktion liefert eine 3 mal grössere Fläche, unabhängig davon wie die Funktion in Integrationsintervall aussieht: [latex]k \cdot \int_a^b 1 \cdot dx = k\cdot \int_a^b dx [/latex] Man kann nun nicht auch noch dx rausziehen, da dies ja eigentlich kein Teil des Integranden ist, sondern lediglich die Integrationsvariable [i]symbolisiert[/i]. Das dx gibt an über welche Variable integriert wird. Es ist eine Konvention, genauso wie man das Quadrat von x schreibt als [latex]x^2[/latex] und nicht als [latex]x_2[/latex]. Du sagst ja auch nicht [latex]\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = (a/b)\cdot (b/c) \cdot (\frac{\quad}{\quad})^2[/latex] weil der Bruchstrich eine Symbolik ist und keine Variable. :)[/quote]
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schnudl
Verfasst am: 29. Dez 2005 23:35
Titel:
Zugegebenermassen gehen Physiker mit den
s und
s recht schlampig um. Im Matheboard würden die mich hochkant rausschmeissen mit so einer Argumentation wie oben.
Sachen wie
sind mathematisch gesehen wahrscheinlich nicht viel besser als mein Spässchen mit dem Bruchstrich.
MrPSI
Verfasst am: 29. Dez 2005 23:31
Titel:
ahh, danke
schnudl
Verfasst am: 29. Dez 2005 23:18
Titel:
Die Fläche unter der Kurve f(x) zwischen a und b schreibt man symbolisch als
Wenn f(x) nicht von x abhängt (konstant ist = k) so kann man das aus dem Integral rausziehen - denn eine 3 mal grössere Funktion liefert eine 3 mal grössere Fläche, unabhängig davon wie die Funktion in Integrationsintervall aussieht:
Man kann nun nicht auch noch dx rausziehen, da dies ja eigentlich kein Teil des Integranden ist, sondern lediglich die Integrationsvariable
symbolisiert
. Das dx gibt an über welche Variable integriert wird. Es ist eine Konvention, genauso wie man das Quadrat von x schreibt als
und nicht als
.
Du sagst ja auch nicht
weil der Bruchstrich eine Symbolik ist und keine Variable.
MrPSI
Verfasst am: 29. Dez 2005 23:05
Titel:
ähm...eine Frage hat sich mir doch noch ergeben, auch wenn sie etwas blöd klingt.
Du hast ja einen Ausdruck aus dem Integral herausgezogen, weil es eine Konstante ist.
Aber da R konstant ist, muss es auch
bzw.
sein, also kann (rein theoretisch) ich diesen Ausdruck auch aus dem Integral nehmen. Übrig bleibt dann
. Was ist das Ergebnis dieses Ausdrucks bzw. Was ist das Ergebnis eines Ausdrucks der Form
.
Das würde mich mal interessieren.
MrPSI
Verfasst am: 29. Dez 2005 20:47
Titel:
ok, gut, habs jetzt verstanden.
Hatte nur Probleme, weil im Halliday ein/zwei Schritte übersprungen wurden und es nicht so schön erklärt wurde wie von dir.
Danke
schnudl
Verfasst am: 29. Dez 2005 20:29
Titel:
Wo ist das Problem?
Der Beitrag eines kleinen Stückchens dl in z-Richtung ist :
Das heisst
und weiter (durch Integration = Flächenbildung)
Du bildest quasi die Fläche der Funktion dE/dl im Intervall von 0 ...2R
Klar, mit etwas Übung kann man das Resultat auch intuitiv hinschreiben ohne zu integrieren. Das funktioniert hier aber nur aufgrund der hohen Symmetrie.
Ausserdem: Dein "grösster Funktionswert einer linearen Funktion..." ist ja auch nichts anderes als die Integration einer konstanten (hast ja selbst erkannt) Grösse !
MrPSI
Verfasst am: 29. Dez 2005 20:04
Titel:
Integrieren find ich an und für sich nicht schwer, aber das Nachvollziehen des Beispiels schon.
Ich verstehe unter Integrieren geometrisch das Aufsummieren unendlicher schmaler Flächenteile, aber ich verstehe den Feldbetrag nicht als Fläche sondern als Funktionswert bzw. ich weiß nicht wie man sich das als Fläche eines Funktionsgraphen vorstellen kann.
Und wieso ist das eine Konstante Funktion??? Da wird ja eine Konstante mit einem x-Wert(=
) multipliziert und das ergibt einen y-Wert(=
), also ist ne lineare Funktion, oder was hab ich da übersehen?
schnudl
Verfasst am: 29. Dez 2005 19:32
Titel:
Es stimmt alles was du sagst - wenn es anfangs auch ein wenig umständlich erscheint. Du musst eine konstante Funktion integrieren von 0 bis
Dies ist nichts anderes als der Integrand x
, wie du ja richtig erkannt hast. Auch wenn das in diesem Fall trivial ist, ist es trotzdem eine Integration. Integrieren muss ja nicht automatisch schwer sein.
MrPSI
Verfasst am: 29. Dez 2005 18:55
Titel: Elektr. Feld einer linearen Ladungsverteilung
Hi,
ich bin im Halliday am im Titel genannten Punkt angelangt. Da wird anhand eines nicht-leitenden dünnen Kreisrings die Formel zur Berechnung des elektr. Feldes einer linearen Ladungsverteilung in einem Punkt P auf der Symmetrieachse(=Achse, senkrecht zum Kreismittelpunkt) hergeleitet.
Ich bin bis zu folgendem Punkt angelangt, den ich auch verstanden hab:
Das ist die Formel zur Berechnung des differentiellen Feldbetrags eines differentiellen Kreiselements, auf dem Ladungen liegen, entlang der Symmetrieachse, da sich die Anteile senkrecht zur Symmetrieachse aus Symmetriegründen(gleicher Betrag, entgegengesetzte Richtungen, ...) auslöschen.
....Ladungsdichte [C/m]
....Winkel zw. Vektor des Feldes im Punkt P und Projektion auf Symmetrieachse
z...Abstand von Kreismittelpunkt und Punkt P
R...Kreisradius
r....Abstand von differenziellem Kreiselemen
zu Punkt P
Und das gesamte elektr. Feld e.l.L. ergibt sich ja durch Aufsummieren der differentiellen Feldbeträge
. Jetzt aber kommt der Punkt den ich nicht verstehe, es wird nämlich integriert.
Wieso wird hier integriert? Das würde ja bedeuten dass der Feldbetrag E eine Fläche unter dem Funktionsgraphen wäre.
Aber E ist doch der größte Funktionswert einer linearen Funktion der Form
im Intervall
, wobei
ist und
und konstant ist und man
und
auf ein beliebig großes
und
ausweitet.
Da
gilt und folgt
.
Wenn man meinen Überlegungen folgt und
setzt, so kommt man zum gleichen Ergebnis wie beim Integrieren.
Also, hier nochmal meine Frage: Wieso wird hier trotzdem integriert?
//edit: so, nach 20-fachem Editieren sollte es endlich akkurat genug beschrieben sein.