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[quote="TomS"][quote="Quantenlümmel"][b]Meine Frage:[/b] Meine Frage lautet, in welchem Hilbertraum ein Teilchen beschrieben wird. Die Optionen sind der L^2 Raum und der C^d Raum. Wann wird welcher Raum für ein quantenmechanisches Problemstellung genutzt? Wo liegen die Unterschiede? [b]Meine Ideen:[/b] Ich weiß, dass die richtige Antwort der Raum der quadratintegrablen Funktionen L^2 sein muss. Allerdings verstehe ich nicht ganz, warum es nicht der abzählbar unendliche komplexwertige Raum C^d ist bzw. sein kann, der von den Basisvektoren aufgespannt wird, aus denen der Zustandsvektor/Wellenfunktion zusammengesetzt ist.[/quote] Was genau ist dein C^d? Ist das ein d-Tupel komplexer Zahlen, also (z_1, z_2, ... z_d)? In der QM wird per Axiom gefordert, dass ein separabler Hilbertraum vorliegt. Derartige Hilberträume sind bei gleicher Dimension paarweise isometrisch isomorph, d.h. es ist kein spezieller separabler Hilbertraum ausgezeichnet. Bsp.: der ein-dim. harmonische Oszillator kann im L^2 der quadratintegrablen Funktionen sowie im l^2 beschrieben werden, wobei Letzterer eine Verallgemeinerung des C^d für den unendlich-dimensionalen Fall darstellt.[/quote]
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Nachricht
TomS
Verfasst am: 23. März 2015 22:27
Titel: Re: Hilbertraum: wann C^d, wann L^2
Quantenlümmel hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Meine Frage lautet, in welchem Hilbertraum ein Teilchen beschrieben wird.
Die Optionen sind der L^2 Raum und der C^d Raum. Wann wird welcher Raum für ein quantenmechanisches Problemstellung genutzt? Wo liegen die Unterschiede?
Meine Ideen:
Ich weiß, dass die richtige Antwort der Raum der quadratintegrablen Funktionen L^2 sein muss.
Allerdings verstehe ich nicht ganz, warum es nicht der abzählbar unendliche komplexwertige Raum C^d ist bzw. sein kann, der von den Basisvektoren aufgespannt wird, aus denen der Zustandsvektor/Wellenfunktion zusammengesetzt ist.
Was genau ist dein C^d? Ist das ein d-Tupel komplexer Zahlen, also (z_1, z_2, ... z_d)?
In der QM wird per Axiom gefordert, dass ein separabler Hilbertraum vorliegt. Derartige Hilberträume sind bei gleicher Dimension paarweise isometrisch isomorph, d.h. es ist kein spezieller separabler Hilbertraum ausgezeichnet. Bsp.: der ein-dim. harmonische Oszillator kann im L^2 der quadratintegrablen Funktionen sowie im l^2 beschrieben werden, wobei Letzterer eine Verallgemeinerung des C^d für den unendlich-dimensionalen Fall darstellt.
Neuling88
Verfasst am: 23. März 2015 19:37
Titel: Re: Hilbertraum: wann C^d, wann L^2
Hallo
Auf einem Hilbertraum ist immer ein inneres Produkt
definiert.
Natürlich muss es für jedes
und
aus dem Hilbertraum definiert sein. Dies bedeutet auch, dass
In einem Funktionenraum sucht man sich jetzt eine konkrete Realisierung eines inneren Produkt. Dies kann zum Beispiel so aussehen
Jetzt muss man fordern, dass der Betrag dieses Integral für beliebige Funktionen des Hilbertraumes einen endlichen Wert liefert.
Man kann nun zeigen, dass die Funktionen quadratintegrabel sein müssen, um dies zu erfüllen.
Ich hoffe das beantwortet deine Frage.
Quantenlümmel
Verfasst am: 23. März 2015 15:46
Titel: Hilbertraum: wann C^d, wann L^2
Meine Frage:
Meine Frage lautet, in welchem Hilbertraum ein Teilchen beschrieben wird.
Die Optionen sind der L^2 Raum und der C^d Raum. Wann wird welcher Raum für ein quantenmechanisches Problemstellung genutzt? Wo liegen die Unterschiede?
Meine Ideen:
Ich weiß, dass die richtige Antwort der Raum der quadratintegrablen Funktionen L^2 sein muss.
Allerdings verstehe ich nicht ganz, warum es nicht der abzählbar unendliche komplexwertige Raum C^d ist bzw. sein kann, der von den Basisvektoren aufgespannt wird, aus denen der Zustandsvektor/Wellenfunktion zusammengesetzt ist.
Oder könnte der Raum nicht das Tensorprodukt zwischen beiden sein?
Ich habe mir mehere Artikel und Kapitel zu beiden Räumen durchgelesen, allerdings werde ich anscheinend ohne eine direkte Gegenüberstellung Beider nicht schlau daraus.
Ich danke im Voraus