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[quote="Hängemathe"]Hallo zusammen, ich bin gerade dabei folgende Aufgabe zu rechnen: Betrachten Sie eine inhomogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: [latex]y^{''}(x)+ay^{'}(x)+by(x)=g(x)[/latex] In dieser Aufgabe soll eine spezielle Lösung für die Spezialfälle [latex]g(x)=c[/latex] und [latex]g(x)=c\cdot x[/latex] mit einer reellen Konstanten c hergeleitet werden. Setzen Sie dazu als Lösung jeweils ein Polynom mit dem Grad von g(x) an, und drücken Sie dessen Koeffizienten durch Anwenden der DGL durch a, b und c aus. Ich habe die Aufgabe folgendermaßen berechnet: Für die homogene Lösung [latex]y_{h}(x)[/latex], die für beiden Fälle gleich ist: [latex]y^{''}+ay^{'}+by=0[/latex] [latex]\lambda_{1,2}=-\frac{a}{2}\pm\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-b}[/latex] [latex]\lambda_{1}=-\frac{a}{2}+\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-b}[/latex] [latex]\lambda_{2}=-\frac{a}{2}-\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-b}[/latex] [latex]y_{h}=C_{1}\cdot e^{\frac{a}{2}+\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-b}}+C_{2}\cdot e^{\frac{a}{2}-\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-b}}[/latex] Für die inhomogene Lösung [latex]y_{h}(x)[/latex]: Das Polynom für den ersten Fall [latex]g(x)=c[/latex] lautet:[latex]y(x)=m[/latex] mit m=const [latex]y^{'}(x)=0[/latex] [latex]y^{''}(x)=0[/latex] Dies in die DGL eingesetzt ergibt: [latex]bm=c \to m=\frac{c}{b}[/latex] [latex]y_{s}=\frac{c}{b}[/latex] Die allgemeine Lösung lautet: [latex]y=\frac{c}{b}+C_{1}\cdot e^{\frac{a}{2}+\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-b}}+C_{2}\cdot e^{\frac{a}{2}-\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-b}}[/latex] Das Polynom für den zweiten Fall [latex]g(x)=c\cdot x[/latex] lautet: [latex]y(x)=mx+h[/latex] [latex]y^{'}(x)=m[/latex] [latex]y^{''}(x)=0[/latex] Dies in die DGL eingesetzt ergibt: [latex]amx+b(mx+h)=cx[/latex] [latex]amx+bmx=cx \to m=\frac{c}{a+b}[/latex] [latex]bh=0 \to h=0[/latex] [latex]y_{s}=\frac{c}{a+b}\cdot x[/latex] Die allgemeine Lösung lautet: [latex]y=\frac{c}{a+b}\cdot x+C_{1}\cdot e^{\frac{a}{2}+\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-b}}+C_{2}\cdot e^{\frac{a}{2}-\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-b}}[/latex] Könnte mir bitte jemand sagen, ob meine Berechnungen so richtig sind. Für Eure Antworten danke ich Euch im Voraus recht herzlich. LG Hängemathe[/quote]
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Nachricht
schnudl
Verfasst am: 29. Jan 2015 08:21
Titel: Re: Inhomogene DGL 2. Ordnung
Zitat:
Das Polynom für den zweiten Fall
lautet:
Dies in die DGL eingesetzt ergibt:
Bei mir wird das nach dem Einsetzen:
Du hast das y'(x) als y' * x interpretiert
Hängemathe
Verfasst am: 28. Jan 2015 19:48
Titel: Inhomogene DGL 2. Ordnung
Hallo zusammen,
ich bin gerade dabei folgende Aufgabe zu rechnen:
Betrachten Sie eine inhomogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:
In dieser Aufgabe soll eine spezielle Lösung für die Spezialfälle
und
mit einer reellen Konstanten c hergeleitet werden.
Setzen Sie dazu als Lösung jeweils ein Polynom mit dem Grad von g(x) an, und drücken Sie dessen Koeffizienten durch Anwenden der DGL durch a, b und c aus.
Ich habe die Aufgabe folgendermaßen berechnet:
Für die homogene Lösung
, die für beiden Fälle gleich ist:
Für die inhomogene Lösung
:
Das Polynom für den ersten Fall
lautet:
mit m=const
Dies in die DGL eingesetzt ergibt:
Die allgemeine Lösung lautet:
Das Polynom für den zweiten Fall
lautet:
Dies in die DGL eingesetzt ergibt:
Die allgemeine Lösung lautet:
Könnte mir bitte jemand sagen, ob meine Berechnungen so richtig sind.
Für Eure Antworten danke ich Euch im Voraus recht herzlich.
LG Hängemathe