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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
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[quote="Jayk"]@TomS: Bei mir hat der Link noch funktioniert... @Greenfunktion: Es gibt zwei ähnliche Formeln: [latex]D^\alpha \mathcal F (\phi )(k) = \mathcal F ((-ix)^\alpha f(x)) (k)[/latex] [latex]\mathcal F (D^\alpha f) (k) = (i k)^\alpha \mathcal{F} (f)(k)[/latex] Plus entsprechende Regeln für die Rücktransformation! Ich kann mir die nicht merken und bin schneller, wenn ich mir das herleite. Es gilt auch [latex]\int d^d k\, \hat f(k) g (k) = \int d^d k\, f(k) \hat g (k) [/latex], weshalb man für temperierte Distributionen einfach [latex]\langle \mathcal F T , \phi \rangle := \langle T , \mathcal F \phi \rangle[/latex] definiert. Man sieht dann leicht, dass die Delta-Distribution die Fouriertransformierte 1 hat: [latex]\langle \mathcal F ( \delta ) , \phi \rangle = \langle \delta , k \mapsto \int d^d x\, \phi (x) e^{- i k \cdot x} \rangle = \int d^d x\, \phi (x) = \langle 1 , \phi \rangle[/latex], was man häufig formal als [latex]\delta (x) = \frac{1}{(2 \pi)^d} \int d^d k\,e^{i k \cdot x}[/latex] findet. Um die Greensfunktion für einen Differentialoperator [latex]P(D) = \sum_\alpha c_\alpha D^\alpha[/latex] zu finden, muss man also in der Definitionsgleichung [latex]P(D) G(x) = \delta (x)[/latex] eine Fouriertransformation machen: [latex]\sum_\alpha c_\alpha (ik )^\alpha \mathcal F (G)(k) = \mathcal F (G)(k) \sum_\alpha \left( c_\alpha \prod_j (i k_j)^{\alpha_j} \right) = 1[/latex] also [latex]\mathcal F(G) (k) = \frac{1}{\sum_\alpha \left( c_\alpha \prod_j (i k_j)^{\alpha_j} \right)}[/latex] und hat "nur noch" die Fourierrücktransformation zu machen. Für [latex]P(D) = \square[/latex] wählst du wählst du z.B. [latex]c_\alpha = -1[/latex] für [latex]\alpha = (0, 2 , 0 , 0), (0, 0 , 2, 0) , (0, 0, 0, 2)[/latex] und [latex]c_\alpha = 1[/latex] für [latex]\alpha = (2, 0, 0, 0)[/latex].[/quote]
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Autor
Nachricht
Jayk
Verfasst am: 26. Jan 2015 16:31
Titel:
@TomS: Bei mir hat der Link noch funktioniert...
@Greenfunktion: Es gibt zwei ähnliche Formeln:
Plus entsprechende Regeln für die Rücktransformation! Ich kann mir die nicht merken und bin schneller, wenn ich mir das herleite.
Es gilt auch
, weshalb man für temperierte Distributionen einfach
definiert. Man sieht dann leicht, dass die Delta-Distribution die Fouriertransformierte 1 hat:
, was man häufig formal als
findet. Um die Greensfunktion für einen Differentialoperator
zu finden, muss man also in der Definitionsgleichung
eine Fouriertransformation machen:
also
und hat "nur noch" die Fourierrücktransformation zu machen.
Für
wählst du wählst du z.B.
für
und
für
.
TomS
Verfasst am: 26. Jan 2015 07:04
Titel:
Leider funktioniert der Link (momentan?) nicht.
Jayk hat schon recht: es wird nicht die Fouriertransformierte nach x abgeleitet, sondern es wird die Funktion nach x abgeleitet und anschließend fouriertransformiert.
Andersherum macht das auch wenig Sinn: die Fouriertransformierte ist eine Funkion von k; wie willst du die nach x ableiten.
Also die Fouriertransformierte von f' ist einfach ik * die Fouriertransformierte von f: F[f'] = ik F[f]
Greenfunktion
Verfasst am: 26. Jan 2015 04:09
Titel:
Schon einmal vielen Dank!
Aber ist es nicht genau andersherum, also:
.
Schließlich wird die Ableitung ja in den Integral reingezogen?
Jayk
Verfasst am: 26. Jan 2015 02:30
Titel:
Das ist ja gerade das Tolle an der Fouriertransformation, dass Ableitungen in Multiplikationen übergehen. Das macht sie so nützlich zur Bestimmung von Greensfunktionen.
Eindimensional:
,
wobei partielle Integration verwendet wurde (die Aussage gilt zum Beispiel für Schwartzfunktionen sowie auch für temperierte Distributionen)
Mehrdimensional:
für alle Multiindizes
.
Greenfunktion
Verfasst am: 26. Jan 2015 01:56
Titel: Herleitung Green-Funktion
Meine Frage:
Hi,
ist jemand von euch so nett, mir in diesem Skript
http://www.phys.ethz.ch/~mrg/QMII/Teil1+2.pdf
in Gleichung 1.1.9 auf Seite 5 die Umformung zu erklären?
Insbesondere geht es mir darum, warum der Laplace-Operator als -q^2 in das Integral hineingezogen werden darf.
Vielen Dank im Voraus
Meine Ideen:
Ich habe leider keine Ideen.