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[quote="TomS"][quote="QM-Laie"][latex]\hat{S}_a^{(1)}[/latex] bezeichnet die Komponente des Spins von Teilchen 1 in der durch den Einheitsvektor [latex]\vec{a}[/latex] angegebenen Richtung, ... [/quote] Ist das wirklich exakt die Aufgaben? Ich bin nicht sicher, ob ich das richtig interpretiere. Sind für die zwei Teilchen unterschiedlich z-Achsen a und b gegeben? Dann wäre das kein Singulet-Zustand. Oder sollen statt der drei üblichen Operatoren neue Operatoren angegeben werden, wobei die z-Achse nach a bzw. b rotiert wurde? Die Formulierung "bezeichnet die Komponente ... in der durch den Einheitsvektor ... angegebenen Richtung, ..." ist missverständlich; gegeben sind drei Komponenten, aber ein Einheitsvektor zeichnet nur eine aus. Ich vermute, dass die Spinoperatoren so rotiert werden sollen, dass zwei neue z-Richtungen definiert werden, also a für das erste und b für das zweite Teilchen. Dann musst du zwei Rotationsoperatoren definieren, die genau das leisten; d.h. du benötigst [latex]\Theta = {\vec{\theta}^{(a)}\vec{S}}[/latex] [latex]U = e^{i\Theta}[/latex] [latex]\vec{S}^{(a)} = U \, \vec{S} \, U^\dagger[/latex] mit geeigneten Rotationswinkeln (b analog). Ich habe übrigens (1) mit (a) und (2) mit (b) identifiziert; die vielen Indizes sind doof zu tippen.[/quote]
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TomS
Verfasst am: 08. Jan 2015 10:15
Titel:
Die Formulierung ist wirklich ungeschickt:
QM-Laie hat Folgendes geschrieben:
bezeichnet die Komponente des Spins von Teilchen 1 in der durch den Einheitsvektor
angegebenen Richtung, ...
Nein, das bezeichnet
nicht
die Komponente des Spins eines Teilchens, weil es ein Operator ist.
Aber du könntest mit der Idee, dass du den Vektor der Operatoren auf diese Richtung a projizieren sollst, recht haben. Ich gehe davon aus, dass das ein Teil aus der Rechnung zur Bellschen Ungleichung (in deinem Fall für Spin 1/2) ist.
Frag' mal nach, was wirklich gemeint ist. Und schau dir mal ein paar Rechnungen zur Bellschen Ungleichung an, da kommen ähnliche Terme vor.
QM-Laie
Verfasst am: 08. Jan 2015 01:21
Titel: Re: Spin, Singulett-Konfiguration
TomS hat Folgendes geschrieben:
Ist das wirklich exakt die Aufgaben? Ich bin nicht sicher, ob ich das richtig interpretiere.
Ja, genau so lautete die Aufgabe.
Naja, ich werde mir das demnächst nochmal angucken, jetzt wird's zu spät.
Vielen Dank!
TomS
Verfasst am: 08. Jan 2015 01:12
Titel: Re: Spin, Singulett-Konfiguration
QM-Laie hat Folgendes geschrieben:
bezeichnet die Komponente des Spins von Teilchen 1 in der durch den Einheitsvektor
angegebenen Richtung, ...
Ist das wirklich exakt die Aufgaben? Ich bin nicht sicher, ob ich das richtig interpretiere.
Sind für die zwei Teilchen unterschiedlich z-Achsen a und b gegeben? Dann wäre das kein Singulet-Zustand.
Oder sollen statt der drei üblichen Operatoren neue Operatoren angegeben werden, wobei die z-Achse nach a bzw. b rotiert wurde?
Die Formulierung "bezeichnet die Komponente ... in der durch den Einheitsvektor ... angegebenen Richtung, ..." ist missverständlich; gegeben sind drei Komponenten, aber ein Einheitsvektor zeichnet nur eine aus.
Ich vermute, dass die Spinoperatoren so rotiert werden sollen, dass zwei neue z-Richtungen definiert werden, also a für das erste und b für das zweite Teilchen. Dann musst du zwei Rotationsoperatoren definieren, die genau das leisten; d.h. du benötigst
mit geeigneten Rotationswinkeln (b analog).
Ich habe übrigens (1) mit (a) und (2) mit (b) identifiziert; die vielen Indizes sind doof zu tippen.
TomS
Verfasst am: 08. Jan 2015 00:46
Titel:
QM-Laie hat Folgendes geschrieben:
Zum Singulett-Zustand hatten wir noch
Ich verstehe nicht, was der linke Zustand sein soll. Was sollen die vier Quantenzahlen bedeuten? Die zwei Spins mit ihrer z-Kompente? Dann verstehe ich die Null nicht, denn die kann es nicht geben. Der Singulet-Zustand? Dann verstehe ich die vier Zahlen nicht.
Der Singulet-Zustand ist exakt das, was du rechts hinschreibst, also
(ohne Normierung)
Diesen Zustand musst du zwischen den Operatoren sandwichen; das ergibt insgs. vier einzelne Terme.
QM-Laie
Verfasst am: 07. Jan 2015 23:48
Titel:
OK, wenn ich das richtig verstanden habe, meinst du folgendes:
Jetzt muss ich ja noch die Komponente des Spin in Richtung von
bzw.
berechnen. Dazu würde ich einen Projektor benutzen:
Aber so wirklich überzeugt bin ich davon nicht...
TomS
Verfasst am: 07. Jan 2015 22:50
Titel:
Bei zwei Spins hast du einen Produkt-Raum. D.h.
Der durch zwei Dublets aufgespannte Raum ist offensichtlich vierdimensional; er kann in einen Singulet und drei Tripletzustände zerlegt werden:
Bei dir geht es um den Singuletzustand.
Ein einzelner Spinoperator ist zu lesen als
Das Produkt zweier Spinoperatoren ist zu lesen als
Diese Operatoren wirken wie folgt auf die Zustände:
Für den Erwartungswert gilt das analog, d.h. ein Operator bzgl. (a) wird zwischen den (a)-Zuständen gesandwiched, ein Operator bzgl. (b) analog:
QM-Laie
Verfasst am: 07. Jan 2015 20:44
Titel:
Stimmt, es ist wohl der Singulett-Zustand.
In der Vorlesung hatten wir gesagt, dass man bei zwei Teilchen mit Spin
einen Hilbertraum mit Dimension 4 hat.
Zum Singulett-Zustand hatten wir noch
.
Jetzt habe ich doch aber das Problem, dass die drei Komponenten des Spinoperators nur Dimension 2 haben (bzw. haben die Pauli-Matrizen Größe
).
Das ich kann ich doch nicht mit dem obigen Vektor multiplizieren, was ich aber machen müsste, um den Erwartungswert zu berechnen; der sieht doch so aus, oder?
(
soll der betrachtete Zustand sein)
jh8979
Verfasst am: 07. Jan 2015 19:37
Titel: Re: Spin, Singulett-Konfiguration
QM-Laie hat Folgendes geschrieben:
Muss ich dazu nicht wissen, in welchem Zustand er sich befindet?
Weisst Du doch (steht sogar schon in Deiner Ueberschrift
).
QM-Laie
Verfasst am: 07. Jan 2015 19:34
Titel:
Keine Ideen?
QM-Laie
Verfasst am: 06. Jan 2015 23:07
Titel: Spin, Singulett-Konfiguration
Meine Frage:
Hallo, liebe Physiker! :)
Ich hänge hier bei folgender Aufgabe fest:
Zwei Spin-
-Teilchen befinden sich in der Singulett-Konfiguration.
bezeichnet die Komponente des Spins von Teilchen 1 in der durch den Einheitsvektor
angegebenen Richtung,
ist entsprechend die Komponente des Spins von Teilchen 2 in der Richtung von
. Zu zeigen ist nun, dass
gilt. (
ist der Winkel zwischen
und
)
Meine Ideen:
Wir hatten den Spinoperator für
:
mit den Pauli-Matrizen
.
Aber wie ich jetzt den Erwartungswert vom Operator
berechnen muss, habe ich keine richtige Idee. Muss ich dazu nicht wissen, in welchem Zustand er sich befindet?
Vielen Dank für Hinweise.