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[quote="TomS"][quote="JJJane"]Habe ich das dann aber richtig verstanden, dass dieses [latex] v(t)=\int \! dv \ [/latex] eben nichts anderes bedeutet, dass die v (als Funktion der Zeit) das Integral der Ableitung ist (eben Umkehrfunktion)?[/quote] Schreib formal einfach mal [latex] v = \int \! dv \ [/latex] denn in dieser Form ist doch gar nicht klar, dass v überhaupt eine Funktion sein muss; und wenn, dann ist nicht klar, was die Variable sein soll, t, s, ... [quote="JJJane"]Sollte es nicht richtigerweise heißen [latex] v(t)=\int_{t0}^t \! dv \, \dd t [/latex] [/quote] Wie kann denn das "d" zweimal im Integral stehen? Was soll das bedeuten? [quote="JJJane"]... wobei ich gesehen habe, dass Du den Faktor, nach dem Du integrierst immer gleich direkt an das Integral-Zeichen dranschreibst ...[/quote] Letztlich ist das reine Konvention. Viele schreiben das so, um anzuzeigen, dass das [latex]\int_a^b dx [/latex] zusammengehört.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jan 2015 22:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>JJJane hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Habe ich das dann aber richtig verstanden, dass dieses <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />v(t)=\int \! dv \ <br />"> <br /> <br />eben nichts anderes bedeutet, dass die v (als Funktion der Zeit) das Integral der Ableitung ist (eben Umkehrfunktion)?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Schreib formal einfach mal <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />v = \int \! dv \ <br />"> <br /> <br />denn in dieser Form ist doch gar nicht klar, dass v überhaupt eine Funktion sein muss; und wenn, dann ist nicht klar, was die Variable sein soll, t, s, ... <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>JJJane hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Sollte es nicht richtigerweise heißen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />v(t)=\int_{t0}^t \! dv \, \dd t <br />"> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wie kann denn das "d" zweimal im Integral stehen? Was soll das bedeuten? <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>JJJane hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">... wobei ich gesehen habe, dass Du den Faktor, nach dem Du integrierst immer gleich direkt an das Integral-Zeichen dranschreibst ...</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Letztlich ist das reine Konvention. Viele schreiben das so, um anzuzeigen, dass das <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_a^b dx "> <br /> <br />zusammengehört.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>JJJane</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jan 2015 19:40<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo TomS, <br /> <br />Danke einmal für Deine Hilfe. Den Unterschied zwischen den bestimmten und unbestimmten Integralen habe ich verstanden. In diesem Sinne ist die Notation natürlich unvollständig, weil bei den Integralen nach dt eigentlich immer ein t0 und ein t dabeistehen sollte. <br /> <br />Habe ich das dann aber richtig verstanden, dass dieses <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />v(t)=\int \! dv \ <br />"> <br /> <br />eben nichts anderes bedeutet, dass die v (als Funktion der Zeit) das Integral der Ableitung ist (eben Umkehrfunktion)? <br /> <br />Sollte es nicht richtigerweise heißen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />v(t)=\int_{t0}^t \! dv \, \dd t <br />"> <br /> <br />Es geht mir primär nur um das Verständnis der Notation, wobei ich gesehen habe, dass Du den Faktor, nach dem Du integrierst immer gleich direkt an das Integral-Zeichen dranscreibst, wohingegen wir das immer nach dem Internaten anführen... <br /> <br />Danke, <br /> <br />JJJ</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jan 2015 19:15<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Als <span style="font-style: italic">unbestimmtes</span> Integral kann man schreiben <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s(t) = \int dt \, v(t) + C"> <br /> <br />Die Umkehrung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v(t) = \frac{ds}{dt}"> <br /> <br />ist damit erfüllt; C fällt beim Differenzieren weg. <br /> <br />In dieser Form sind die Gleichungen meist nicht sehr sinnvoll. Üblicherweise verwendet man ein <span style="font-style: italic">bestimmtes</span> Integral, wobei die obere Grenze der aktuellen Zeit t und die Untergrenze dem Beginn des Betrachtungszeitraums entspricht; häufig 0 oder t_0. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s(t) = \int_{t_0}^t dt \, v(t) + s_0"> <br /> <br />Die Umkehrung folgt dann mittels Ableiten nach der oberen Grenze. <br /> <br />****** <br /> <br />Die andere Schreibweise ist eigtl. trivial; du integrierst die Funktion 1 über ds; das Ergebnis ist s <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{s_0}^s ds^\prime = s^\prime |^s_{s_0} = s - s_0"> <br /> <br />Ableitung erfolgt jetzt nach s. <br /> <br />****** <br /> <br />Der Zusammenhang folgt mittels Substitution: man substituiert im Integral die Integrationsvariable s durch t und fasst s(t) als Funktion von t auf. Die Grenzen werden ebenfalls substituiert.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>JJJane</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jan 2015 18:54<span class="gen"> </span> Titel: Beschleunigung als Funktion der Zeit [a=a(t)]</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br />Ich habe nächste Woche eine Prüfung in Kinematik und ein Verständnisproblem: mir sind die diversen kinematischen Gleichungen klar, soweit es sich um gleichförmige (v = const) oder gleichmäßig beschleunigte (a = const) Bewegungen handelt. <br /> <br />Nun habe ich aber Aufgaben, in denen ich die v bzw. s ermitteln soll, bei denen a aber als Funktion der Zeit (oder aber auch der Geschwindigkeit oder des Weges, dazu dann vielleicht etwas später) angegeben ist. <br /> <br />Mir ist klar, dass ich a über t integrieren muss, um auf v(t) zu kommen bzw. nochmals integrieren muss, um auf s(t) zu kommen. <br /> <br />Ich habe in einem Buch eine Lösung dafür gefunden, verstehe diese aber nicht, weil ich Probleme habe, die verwendete Notation zu verstehen. <br /> <br />Also: <br />1. <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? a=a(t) "> <br />soweit so gut. <br /> <br />2. <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? a=\frac{\dd v(t)}{\dd t} "> <br />auch klar und daher auch klar, dass wenn ich von a zu v will, ich über die Zeit integrieren muss. <br /> <br />3. Und jetzt wird es unklar: <br />v(t) = <span style="font-weight: bold">integral dv</span> = integral a(t) dt + C1 <br />Dass C1 dabei v0 ist, ist mir wiederum klar. <br />Was bedeutet dieses "integral dv"? Meint das nur, dass v(t) gleich ist dem Integral seiner Ableitung (weil Umkehrfunktion)? <br /> <br />4. Ebenfalls unklar: <br />s(t) = <span style="font-weight: bold">integral ds</span> = integral v(t) dt + C2 <br />Dass C2 dabei s0 ist, ist mir wiederum klar. <br />Was bedeutet dieses "integral ds"? (analog siehe oben) <br /> <br />Wenn das mal klar ist, werde ich mir erlauben, weiterzufragen, weil das dann noch etwas komplexer zu werden scheint. <br /> <br />Besten Dank für Eure Hilfe, <br /> <br />JJJ[/latex]</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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