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[quote="franz"]Der exponentielle Ansatz, der gleichbedeutend mit f(r)/r = const ist (und damit im Grunde die verschwurbelte Bewegungsgleichung obsolet macht), führt auf eine einfache Schwingung, welche die Forderungen a - d erfüllt [latex]x(t)\overset{!}{=}\alpha_x e^{\beta_x t},\ y(t)\overset{!}{=}\alpha_y e^{\beta_y t}\Rightarrow[/latex] [latex]\omega^2:=\frac{f(r)}{r}=-\beta_{x,y}^2=const\Rightarrow[/latex] [latex]x(t)=a_x\cos(\omega t+b_x),\ y(t)=a_y\cos(\omega t+b_y)[/latex] [latex]\dot x(0)=\dot y(0) = 0\Rightarrow [/latex] [latex]x(t)=x(0)\cos\omega t,\ y(t)=y(0)\cos\omega t[/latex][/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>franz</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Okt 2014 02:20<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Der exponentielle Ansatz, der gleichbedeutend mit f(r)/r = const ist (und damit im Grunde die verschwurbelte Bewegungsgleichung obsolet macht), führt auf eine einfache Schwingung, welche die Forderungen a - d erfüllt <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)\overset{!}{=}\alpha_x e^{\beta_x t},\ y(t)\overset{!}{=}\alpha_y e^{\beta_y t}\Rightarrow"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega^2:=\frac{f(r)}{r}=-\beta_{x,y}^2=const\Rightarrow"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)=a_x\cos(\omega t+b_x),\ y(t)=a_y\cos(\omega t+b_y)"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot x(0)=\dot y(0) = 0\Rightarrow "> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)=x(0)\cos\omega t,\ y(t)=y(0)\cos\omega t"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Leylani</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Okt 2014 22:29<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Vielen Dank für die fleißige Mitarbeit zu recht später Stunde :-) <br /> <br />In der Tat ist die Aufgabenstellung verwirrend, egal, wie man es dreht und wendet. Ich frage schnellstmöglich meinen Tutor, wie die Frage gemeint ist und melde mich dann wieder. <br /> <br />Die Bewegungsgleichungen müssen wir nicht lösen, denke ich. <br />Wir sind gerade erst in das Thema DGL eingestiegen und "können" solche zweiter Ordnung noch garnicht lösen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>franz</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Okt 2014 22:18<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Leylani hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Also kann die eine Masse doch durchaus früher den Ursprung erreichen als die andere.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Leider nein x/y = const -> (x~ 0 -> y ~ 0) <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /> <br />Vielleicht könnte man die Fragen erstmal ignorieren und nach einer Lösung der Bewegungsgleichungen suchen ...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Leylani</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Okt 2014 22:04<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">So steht es da: <br /> <br />b) Zeigen Sie, dass das Verhältnis von x und y konstant ist. <br /> <br />Ich glaube ich hatte eine Sache bisher ganz falsch verstanden. <br />Die Massen starten voneinander entfernt, eine auf x und eine auf y. Und bewegen sich anschließend lediglich aufeinander zu. <br />Ich dachte die ganze Zeit, sie würden sich auch abstoßen und demnach eine Art konstanten Abstand einhalten (solche Aufgaben habe ich wohl schon zu oft gesehen! <img src="images/smiles/haudrauf.gif" alt="Haue / Kloppe / Schläge" border="0" /> ) was natürlich bei r(t) überhaupt nicht sinnvoll wäre... dumm von mir. <br />Also - wie du sagst - werden sie sich einfach nach einer gewissen Zeit im Ursprung treffen. <br /> <br />Okay, aber dann ist es doch eigentlich möglich. Es sagt ja niemand, dass die Massen in gleicher Entfernung vom Ursprung starten. Also kann die eine Masse doch durchaus früher den Ursprung erreichen als die andere. <br />Ich müsste also einen Ausdruck für die Zeitdifferenz in Abhängigkeit von den Startorten y(0) und x(0) finden. <br /> <br />Was meinst du?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>franz</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Okt 2014 21:34<span class="gen"> </span> Titel: Re: DGL zweier Massenpunkte</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Eins verstehe ich nicht: <br /> <br />Wenn das stimmen sollte: "Verhältnis x zu y ist konstant", dann wäre der Winkel der Verbindungslinie zur x - Achse konstant und die Punkte würden sich im Ursprung treffen. <br /> <br />Das beißt sich aber damit: "Berechne die zeitliche Differenz mit der A und B den Koordinatenursprung überqueren." Außerdem deutet diese Anmerkung "Zunächst ruhen die Massen" ein anderes Szenarium an. <br /> <br />Könntest Du bitte nochmal den Text der Aufgabe b) überprüfen? <br /> <br />mfG!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Leylani</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Okt 2014 21:13<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo franz! <br /> <br />Natürlich! Es war so einfach, aber ich habe es einfach nicht gesehen! <br />Danke für deinen Rat! :-) <br /> <br />Zur b) <br /> <br />Wenn ich mal den Bruch der Beschleunigungen betrachte, passiert ja gleich folgendes: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{\ddot{x}}{\ddot{y}} = \frac{-f(r)\cdot m \frac{x(t)}{r(t)}}{-f(r)\cdot m\frac{y(t)}{r(t)}} = \frac{y(t)}{x(t)} "> <br /> <br />Was genau könnte ich jetzt damit anfangen? <br />Ich kann es mir auch garnicht richtig vorstellen: Wenn A auf der x-Achse Richtung Ursprung wandert und B auf der y-Achse "nach oben" ist doch das Verhältnis von x und y nicht konstant, oder? <br />Wahrscheinlich habe ich eine falsche Vorstellung... <br /> <br />Zu c) <br /> <br />Die Strecke müsste sich nach meiner Vorstellung auf einem Quadrat bewegen, welches um 45° gedreht ist. <br /> <br />Zu d) wäre mein Ansatz x(t) und y(t) = 0 zu setzen. <br /> <br />Vielleicht kannst du ja nochmal deine Meinung dazu äußern <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>franz</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Okt 2014 21:44<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">A bewegt sich auf der x - Achse, B auf der y - Achse (wie auf Schienen und mit einer Art "Feder" zwischen beiden). <br />a) Der Kraftansatz / Bewegungsgleichung müßte stimmen. <br />Von der Anziehung gegen A kommt ja beispielsweise nur die x - Komponente zum Tragen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot x\sim \frac{x}{r}"> (über den Kosinus). <br /> <br />Und für b) könnte man mal über <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\ddot x}{\ddot y}=\frac{x}{y}"> nachdenken.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Leylani</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Okt 2014 20:46<span class="gen"> </span> Titel: DGL zweier Massenpunkte</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hallo liebe Physiker!<br /><br />Ich stehe momentan vor folgender Aufgabe:<br /><br />Zwei Massenpunkte A und B gleicher Masse m bewegen sich reibungslos auf der x-Achse bzw. y-Achse. Sie ziehen sich gegenseitig mit der Kraft f(r) an, wobei r den Abstand der Massen bezeichnet. Zunächst ruhen die Massen und bewegen sich anschließend mit:<br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m\ddot{x}(t) = -f(r(t)) \frac{x(t)}{r(t)} "><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m\ddot{y}(t) = -f(r(t)) \frac{y(t)}{r(t)} "><br /><br />a) Zeige: Die Massenpunkte erfüllen die DGLs.<br />b) Zeige: Verhältnis x zu y ist konstant.<br />c) Skizziere die Bewegung der Strecke AB<br />d) Berechne die zeitliche Differenz mit der A und B den Koordinatenursprung überqueren.<br /><br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Mein erstes Problem ist inhaltlicher Natur:<br />Bewegen sich A und B BEIDE JEWEILS auf x und BEIDE auf y? Oder soll A auf der y-Achse und B auf der x-Achse wandern?<br /><br />zu a) Die linke Seite ist mir soweit klar. Mit Newton gilt: F = ma und da die Beschleunigung die zweite Ableitung des Ortes ist, steht schon da:<br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m\ddot{x}(t) = F "><br />Das Minus könnte ich mir über Kraft und Gegenkraft erklären. Aber woher kommt der zusätzliche Bruch von x und r?<br /><br />zu b) Muss ich zeigen, dass x und y immer den gleichen Abstand zueinander haben?<br /><br />zu c) und d) Das ergibt sich vielleicht, wenn ich den Rest verstanden habe ;)<br /><br />Bin für jeden Rat und Denkansatz dankbar!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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