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[quote="Deter Minante 2"]Hallo, Ich habe mich gerade mit der theoret. Herleitung des elektr. Feldes im Zylinderkondensator befasst. Der innere Zylinder habe den Radius R1 und der äußere R2, wobei auf beiden Zylindern die Ladung Q bzw. -Q sei . Dazu habe ich als Ansatz das Gaußsche Gesetz benutzt und mit Satz von Gauß, einsetzen der Deltafunktion in die Ladungsdichte und Integration von phi und z in Zylinderkoordinaten folgenden Ausdruck erhalten: [latex] \int_{r=0}^{oo} ( \frac{Q}{R_1} \delta(r-R_1) - \frac{Q}{R_2} \delta(r-R_2) ) r dr = 2 \pi r h E(r) [/latex] Als Lösung erhält man eine Fallunterscheidung, wobei man nur im Bereich R1 < r < R2 etwas von Null verschiedenes erhält: [latex] E(r) = \frac{Q}{\varepsilon_0 2 \pi r h} [/latex] Ich habe dazu zwei Fragen: 1) Die etwas dumme Frage: Kann ich beim Integral das r einfach kürzen? (wohl eher nicht). Oder lass ich das r auf der rechten Seite einfach unbeachtet? (sonst würde ich ja auch nicht auf die Lösung kommen). Weiß leider nicht genau wie ich damit umzugehen habe. 2) Wie erhalte ich rein mathematisch die Lösung? Das heißt wie Werte ich die Delta-Funktion aus, sodass ich eine intervallunterteile Lösung erhalte? Rein physikalisch ist mir klar, dass ich im Bereich r < R1 keine Ladung einschließe und somit das E-Feld Null ist, aber dies muss ja auch aus der reinen Mathematik zu folgern sein, oder? Bisher hatte ich leider immer nur eine Delta-Funktion im Integral und nicht wie hier zwei verschiedene. Ich danke euch schonmal für eure Hilfe. Hoffe ihr versteht was ich mit meinen Fragen meine, , wenns hilft kann ich auch notfalls nochma die gesamte Rechnung hier rein texen, aber eig gehts mir nur um das Integral.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Deter Minante 2</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Okt 2014 23:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ah genau das war der Punkt. Danke dir jh8979 für die zielführenden tipps! Falls jmd das selbe Problem hat, schreib ich noch kurz die Erklärung hierrein: <br />Mit der Eigenschaft der Delta-Funktion: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \int_\alpha^\beta dx \delta(x-a) = \begin{cases}1, \mathrm{falls}\alpha < a < \beta \\ 0, \mathrm{sonst} \\ \end{cases} "> <br /> <br />folgen 3 fälle bei der integration mit den Grenzen von 0 bis r . Falls r<R1, gibt das Intergral somit 0, da R1 nicht im Intervall der Integrationsgrenzen liegt. Falls r>R1 und r<R2 so liefert nur der erste Summand (das erste Intergral) einen Beitrag, womit das Ergebnis folgt. Und falls r>R2 so heben sich beide Integrale auf.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Okt 2014 16:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Du solltest Deine Integrationsvariable nicht r, sondern r' nennen. Denn die Grenzen des Integrals sind 0 und r.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Deter Minante 2</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Okt 2014 13:59<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke schonmal für die Hilfe, aber so wirklihc komm ich damit nicht weiter. Also schreibe ich das Integral erstmal um: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \int_{r=0}^{oo} \frac{Q}{R_1} \delta(r-R_1) r dr - \int_{r=0}^{oo}\frac{Q}{R_2} \delta(r-R_2) r dr = 2 \pi r h E(r) "> <br /> <br />Wenn ich nun z.B. das erste Integral auswerte erhalte ich: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \int_{r=0}^{oo} \frac{Q}{R_1} \delta(r-R_1) r dr = \frac{Q}{R_1} R_1 = Q "> <br /> <br />Das Integral im zweiten Summanden würde mir analog auch Q ergeben. Somit würde ich als Ergebnis Q-Q=0 erhalten. Ich komme so weder auf eine Fallunterscheidung noch auf das Ergebnis. Vll kannst du mir nochmal etwas auf die sprünge helfen, wo mein fehler ist? <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Okt 2014 00:40<span class="gen"> </span> Titel: Re: E-Feld Zylinderkond. Delta-Fkt.</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Deter Minante 2 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />1) Die etwas dumme Frage: Kann ich beim Integral das r einfach kürzen? (wohl eher nicht). Oder lass ich das r auf der rechten Seite einfach unbeachtet? (sonst würde ich ja auch nicht auf die Lösung kommen). Weiß leider nicht genau wie ich damit umzugehen habe. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein kannst Du nicht. Dann kämest Du auch nicht auf E ~ 1/r <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />2) Wie erhalte ich rein mathematisch die Lösung? Das heißt wie Werte ich die Delta-Funktion aus, sodass ich eine intervallunterteile Lösung erhalte? <br /> Rein physikalisch ist mir klar, dass ich im Bereich r < R1 keine Ladung einschließe und somit das E-Feld Null ist, aber dies muss ja auch aus der reinen Mathematik zu folgern sein, oder? <br />Bisher hatte ich leider immer nur eine Delta-Funktion im Integral und nicht wie hier zwei verschiedene.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Definition der Delta-Funktion <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int dx \delta(x) =1">, wenn 0 im Intervall liegt. und benutzen der bekannten Regelen, insbesondere <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int (f+g) = \int f + \int g">.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Deter Minante 2</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Okt 2014 00:34<span class="gen"> </span> Titel: E-Feld Zylinderkond. Delta-Fkt.</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br />Ich habe mich gerade mit der theoret. Herleitung des elektr. Feldes im Zylinderkondensator befasst. Der innere Zylinder habe den Radius R1 und der äußere R2, wobei auf beiden Zylindern die Ladung Q bzw. -Q sei . Dazu habe ich als Ansatz das Gaußsche Gesetz benutzt und mit Satz von Gauß, einsetzen der Deltafunktion in die Ladungsdichte und Integration von phi und z in Zylinderkoordinaten folgenden Ausdruck erhalten: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \int_{r=0}^{oo} ( \frac{Q}{R_1} \delta(r-R_1) - \frac{Q}{R_2} \delta(r-R_2) ) r dr = 2 \pi r h E(r) "> <br /> <br />Als Lösung erhält man eine Fallunterscheidung, wobei man nur im Bereich R1 < r < R2 etwas von Null verschiedenes erhält: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? E(r) = \frac{Q}{\varepsilon_0 2 \pi r h} "> <br /> <br />Ich habe dazu zwei Fragen: <br />1) Die etwas dumme Frage: Kann ich beim Integral das r einfach kürzen? (wohl eher nicht). Oder lass ich das r auf der rechten Seite einfach unbeachtet? (sonst würde ich ja auch nicht auf die Lösung kommen). Weiß leider nicht genau wie ich damit umzugehen habe. <br />2) Wie erhalte ich rein mathematisch die Lösung? Das heißt wie Werte ich die Delta-Funktion aus, sodass ich eine intervallunterteile Lösung erhalte? <br /> Rein physikalisch ist mir klar, dass ich im Bereich r < R1 keine Ladung einschließe und somit das E-Feld Null ist, aber dies muss ja auch aus der reinen Mathematik zu folgern sein, oder? <br />Bisher hatte ich leider immer nur eine Delta-Funktion im Integral und nicht wie hier zwei verschiedene. <br /> <br />Ich danke euch schonmal für eure Hilfe. Hoffe ihr versteht was ich mit meinen Fragen meine, , wenns hilft kann ich auch notfalls nochma die gesamte Rechnung hier rein texen, aber eig gehts mir nur um das Integral.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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