Antwort schreiben

Registrieren

FAQ

Suchen

Foren-Übersicht -> Mechanik

Antwort schreiben

Benutzername

(du bist nicht eingeloggt!)

Titel

Nachrichtentext

Smilies





Weitere Smilies ansehen

Schriftfarbe: Schriftgröße:

Tags schließen

Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="Flail"][b]Meine Frage:[/b]
Hallo,

ich versuche die Bewegungsgleichungen für ein einfaches Beispiel aufzustellen

[color=blue]Externen Link durch Anhang ersetzt. Steffen[/color]

y1 und y2 geben nur die Längenänderung der Federn an und müssen am Ende noch in der Bewegungsgleichung stehen.
Dämpfer sind zwar nicht eingezeichnet aber vorhanden. (d1 und d2)
Seitliche Verschiebung wird vernachlässigt, Winkel wird linearisiert.

Ich bräuchte nun zwei Lösungsansätze/Bewegungsgleichung
1. redundant mit 4 Bewegungsgleichungen+2 Zwangsbedingungen
2. 2 Bewegungsgleichungen

[b]Meine Ideen:[/b]
1. redundante Formulierung

Kinetische und potentielle Energie:

[latex]T &&= \frac{1}{2} \left(m \dot{y_s}^2 + I_p\dot{\varphi_s}^2 \right)
V &&= \frac{1}{2} \left( c_1 y_1^2 + c_2 y_2^2 \right)+mgy_s
[/latex]

Zwangsbedingungen:
[latex]y_1 &= y_s - l_1 sin(\varphi_s)
y_2 &= y_s + l_2 sin(\varphi_s)[/latex]

linearisiert:
[latex]y_1 &= y_s - l_1 \varphi_s
y_2 &= y_s + l_2 \varphi_s[/latex]

Nur wie stelle ich jetzt die generalisierten Kräfte auf?
Wenn ich mit 
[latex]0 &&= Q +  \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{q}} - \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\dot{q}}}\right)
L &&= T - V[/latex]

rechnen möchte bräuchte ich ja einen (4,1) Q Vektor
also hab ich 3 Vektoren zu den Angriffspunkten aufgestellt (linearisiert)
[latex]
rF &&=\begin{pmatrix}l_1+e
(l_1+e)\varphi_s+y_1\end{pmatrix}
rF_1 &&=\begin{pmatrix}0
y_1\end{pmatrix}
rF_2 &&=\begin{pmatrix}l_1+l_2
y_2\end{pmatrix}
[/latex]
und mit meinen 3 Kräften
[latex]
F &&=\begin{pmatrix}0
-F\end{pmatrix}
F_1 &&=\begin{pmatrix}0
d_1 \dot{y_1}\end{pmatrix}
F_2 &&=\begin{pmatrix}0
d_2 \dot{y_2}\end{pmatrix}
[/latex]
ergibt aus
[latex]\sum \vec{F_e} \frac{\partial \vec{r_K}}{\partial q_i}[/latex]
für Q:
[latex]Q=\begin{pmatrix}
0
-F (e + l_1)
-F + d_1 \dot{y_1}
d_2 \dot{y_2}
\end{pmatrix}[/latex]

Stimmt das nun oder bin ich hier völlig am Holzweg?

Denn dann müsst ich das ganze ja nur noch aufsummieren
[latex]0=\begin{pmatrix}
0
-F (e + l_1)
-F + d_1 \dot{y_1}
d_2 \dot{y_2}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
mg
0
c_1 y_1
c_2 y_2
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
m \ddot{y_s}
I_p \ddot{\varphi_s}
0
0
\end{pmatrix}[/latex]
bzw. in "schöner" Matrixschreibweise

[latex]\begin{pmatrix}
m  & 0 & 0 & 0
0 & I_p & 0 & 0
0 & 0 & 0 & 0
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\ddot{y_s}
\ddot{\varphi_s}
\ddot{y_1}
\ddot{y_2}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0
0 & 0 & 0 & 0
0 & 0 & -d_1 & 0
0 & 0 & 0 & -d_2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\dot{y_s}
\dot{\varphi_s}
\dot{y_1}
\dot{y_2}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0
0 & 0 & 0 & 0
0 & 0 & -c_1 & 0
0 & 0 & 0 & -c_2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
y_s
\varphi
y_1
y_2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
mg
-F (e + l_1)
-F 
0
\end{pmatrix}
[/latex]

2. Einsetzen der Zwangsbedingungen

Also ich forme die Zwangsbedingungen auf ys und phi um

[latex]y_s &&= - \frac{-l_2 y_1 - l_1 y_2}{l_1 + l_2}
\varphi_s &&= - \frac{y_1 - y_2}{l_1 + l_2}[/latex]

und setze sie in die kinetische und potentielle Energie ein

[latex]T &&= \frac{1}{2} \left(m (- \frac{-l_2 \dot{y_1} - l_1 \dot{y_2}}{l_1 + l_2})^2 + I_p (- \frac{\dot{y_1} - \dot{y_2}}{l_1 + l_2})^2 \right)
V &&= \frac{1}{2} \left( c_1 y_1^2 + c_2 y_2^2 \right)+mg(- \frac{-l_2 y_1 - l_1 y_2}{l_1 + l_2})[/latex]

Für Q mache ich das selbe wie vorher und es ergibt sich für

[latex]rF=\begin{pmatrix}l_1+e
(l_1+e)(- \frac{y_1 - y_2}{l_1 + l_2})+y_1\end{pmatrix}[/latex]

und somit für Q

[latex]Q=\begin{pmatrix}-F+\frac{F(e+l_1)}{l_1+l_2}+d_1 \dot{y_1}
-\frac{F(e+l_1)}{l_1+l_2}+d_2 \dot{y_2}\end{pmatrix}[/latex]

und nach dem aufsummieren

[latex]0=\begin{pmatrix}-F+\frac{F(e+l_1)}{l_1+l_2}+d_1 \dot{y_1}
-\frac{F(e+l_1)}{l_1+l_2}+d_2 \dot{y_2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{g l_2 m}{l_1 + l_2}+c_1 y_1
\frac{g l_1 m}{l_1 + l_2}+c_2 y_2
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{(I_p + l_2^2 m)\ddot{y_1}+(-I_p+l_1 l_2 m)\ddot{y_2}}{(l_1+l_2)^2}
\frac{(-I_p+l_1 l_2 m)\ddot{y_1}+(I_p + l_1^2 m)\ddot{y_2}}{(l_1+l_2)^2}
\end{pmatrix}
[/latex]

bzw. in Matrixschreibweise

[latex]
\begin{pmatrix}
\frac{(I_p + l_2^2 m)}{(l_1+l_2)^2} & \frac{(-I_p+l_1 l_2 m)}{(l_1+l_2)^2}
\frac{(-I_p+l_1 l_2 m)}{(l_1+l_2)^2} &\frac{(I_p + l_1^2 m)}{(l_1+l_2)^2}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\ddot{y_1}
\ddot{y_2}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
-d_1 & 0 
0 & -d_2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\dot{y_1}
\dot{y_2}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
-c_1 & 0
0 & -c_2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
y_1
y_2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-F+\frac{F(e+l_1)}{l_1+l_2}+\frac{g l_2 m}{l_1 + l_2}
-\frac{F(e+l_1)}{l_1+l_2}+\frac{g l_1 m}{l_1 + l_2}
\end{pmatrix}
[/latex]

Ist das jetzt alles richtig oder hab ich grundsätzlich etwas falsch verstanden?[/quote]

Optionen
HTML ist aus
BBCode ist an
Smilies sind an

	BBCode in diesem Beitrag deaktivieren
	Smilies in diesem Beitrag deaktivieren

Spamschutz
Text aus Bild eingeben

Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde

Thema-Überblick