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[quote="Hodge"]Hallo, ähnliche Frage wie letztens. Die Definition des Hodge Operators ist : (m ist Dimension der Riemann-Mannigfaltigkeit) [latex]*: \Omega^{r}(M) \rightarrow \Omega^{m-r}(M)[/latex] [latex]*(dx^{\mu_{1}} \wedge dx^{\mu_{2}} \wedge ...\wedge dx^{\mu_{r}}) = \frac{\sqrt{|g|}}{(m-r)}\epsilon^{\mu_{1}\mu_{2}...\mu_{r}}_{v_{r+1}...v_{m}}dx^{v_{r+1}}\wedge...\wedge dx^{v_m}[/latex] Wobei [latex]\epsilon^{\mu_{1}\mu_{2}...\mu_{m}}= g^{\mu_{1}v_{1}}g^{\mu_{2}v_{2}}...g^{\mu_{m}v_{m}}\epsilon_{v_{1}v_{2}...v_{m}}=g^{-1}\epsilon_{\mu_{1}\mu_{2}...\mu_{m}}[/latex] Mit einer r-form [latex]\omega = \frac{1}{r!}\omega_{\mu_{1}\mu_{2}...\mu_{r}}dx^{\mu_{1}} \wedge dx^{\mu_{2}} \wedge...\wedge dx^{\mu_{r}} \in \Omega^{r}(M)[/latex] [latex]*\omega = \frac{\sqrt{|g|}}{r!(m-r)} \omega_{\mu_{1}\mu_{2}...\mu_{r}}\epsilon^{\mu_{1}\mu_{2}...\mu_{r}}_{v_{r+1}...v_{m}}dx^{v_{r+1}}\wedge...\wedge dx^{v_m}[/latex] (Metrik orthogonal) Ich würde jetzt gerne diese Ergebnisse nachvollziehen [latex]*(e_{2} \wedge e_{3})=e_{1}[/latex] [latex]*(e_{1} \wedge e_{3})=-e_{2}[/latex] [latex]*(e_{1} \wedge e_{2})=e_{3}[/latex] Die inverse Abbildung dazu auch, aber dazu später :D Gehen diese Ergebnisse überhaupt mit der abstrakten Definition oben? Kann mir jemand mit diesen ganzen Indizes helfen? Vielleicht kennt auch jemand eine simplere Definition? LG[/quote]
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jh8979
Verfasst am: 22. Jul 2014 14:04
Titel:
Hodge hat Folgendes geschrieben:
Das hab ich zwar in dem Post grade gemacht, ...
Dann versteh ich Deine Frage nach dem Trick ohne rumprobieren nicht...
Hodge
Verfasst am: 22. Jul 2014 14:02
Titel:
Und Danke.
Hodge
Verfasst am: 22. Jul 2014 14:01
Titel:
Das hab ich zwar in dem Post grade gemacht, aber ok, du hast keine Lust mehr
Ich denk ich hab die berechnung jetzt verstanden mit der Definition.
jh8979
Verfasst am: 22. Jul 2014 13:57
Titel:
Hodge hat Folgendes geschrieben:
Gibt es da einen Trick wie man das Lösen kann ohne rumzuprobieren?
In die Definition oben einsetzen... ich hab es doch jetzt schon mehrmals vorgemacht...
Hodge
Verfasst am: 22. Jul 2014 13:48
Titel:
Ok versuchen wir es mal mit der anderen Definition
Gibt es da einen Trick wie man das Lösen kann ohne rumzuprobieren? Ich habs mal eingesetzt und
Müsste ja
rauskommen oder?
Gruß
jh8979
Verfasst am: 21. Jul 2014 16:16
Titel:
Hodge hat Folgendes geschrieben:
Hallo,
Also noch mal mit r=m=2
Ist das so schon mal richtig?
Nein. Für m=r=2:
(modulo Faktoren evtl ...)
Hodge
Verfasst am: 21. Jul 2014 15:45
Titel:
Hallo,
Also noch mal mit r=m=2
Ist das so schon mal richtig?
jh8979
Verfasst am: 21. Jul 2014 14:09
Titel:
jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Z.B.
oder
Hodge
Verfasst am: 21. Jul 2014 14:07
Titel:
Ja ok, tut mir leid. Könntest du vielleicht eine expliziteres Beispiel angeben? Ich weiß die Formel ist nervig und lang, aber anders raff ich das nicht :/
jh8979
Verfasst am: 21. Jul 2014 00:20
Titel:
Natürlich muss man das.. die stehen doch auch in Deiner Formel oben....
Hodge
Verfasst am: 20. Jul 2014 23:47
Titel:
Ich hab noch grade in einem PDF gelesen das man die Komponenten der form finden muss um dann weiter zu berechnen hm
Hodge
Verfasst am: 20. Jul 2014 21:56
Titel:
Hallo, danke für die Antwort
Najaa leider nicht so
Ich versuchs mal mit r=m=2
K
Jetzt über
summieren und dann getrennt über die anderen Indizes? Ich glaub da kommt nur Murks raus :/ Könntest du das vielleicht ein bisschen expliziter zeigen?
jh8979
Verfasst am: 20. Jul 2014 17:13
Titel:
Z.B.
Hilft das schon?
PS: Bei Deiner Definition oben fehlt noch nen Fakultätzeichen...
Hodge
Verfasst am: 20. Jul 2014 04:05
Titel:
Ach halt, das ist natürlich der Operator angewandt auf Vektoren, also nicht aus dem Raum der r-formen.
Hodge
Verfasst am: 20. Jul 2014 02:40
Titel: Hodge Stern Operator
Hallo, ähnliche Frage wie letztens. Die Definition des Hodge Operators ist :
(m ist Dimension der Riemann-Mannigfaltigkeit)
Wobei
Mit einer r-form
(Metrik orthogonal)
Ich würde jetzt gerne diese Ergebnisse nachvollziehen
Die inverse Abbildung dazu auch, aber dazu später
Gehen diese Ergebnisse überhaupt mit der abstrakten Definition oben? Kann mir jemand mit diesen ganzen Indizes helfen? Vielleicht kennt auch jemand eine simplere Definition?
LG