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[quote="Felix93"]Hi, Folgende Aussage habe ich gelesen: Da H spiegelsymmetrisch ist, muss auch die Aufenthaltswahrscheinlichkeit spiegelsymmetrisch sein, also |ψ|^2 symmetrisch, also ψ(x) gerade oder ungerade Funktion. Ansicht ist mir das schon klar. Meine Frage ist jedoch: Gilt dies auch für Punktsymmetrie? Also wenn H punktsymmetrisch, dann gilt dies auch für |ψ|^2 und damit ist dann ψ(x) auf jeden Fall ungerade? Gilt dies auch für keine Symmetrie? Also wenn H nicht-symmetrisch, dann gilt dies auch für |ψ|^2. Was gilt dann im nicht-symmetrischen Fall aber für ψ(x)? Grüße Felix[/quote]
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Felix93
Verfasst am: 03. Jun 2014 11:19
Titel:
Vielen Dank für eure Antworten. Jetzt ist es klar.
TomS
Verfasst am: 02. Jun 2014 12:18
Titel:
Ergänzend sollte man evtl. noch einige Dinge hinzufügen:
Wenn H eine Symmetrie aufweist, dann bedeutet dies, dass ein unitärer Operator U existiert, der H invariant lässt, d.h.
Ein unitärer Operator U kann immer mittels eines selbstadjungierten Operators A geschrieben werden als
Falls es sich um eine kontinuierliche Symmetrie handelt (Beispiel: Translation, Rotation), dann schreibt man dies häufig als
wobei theta für einen (oder mehrere) reelle Parameter steht. Der selbstadjungierte Operator G wird als Generator der Symmetrie bezeichnet (Beispiel: Translation – Impuls p, Rotation – Drehimpuls J). Aus der Invarianz von H bzgl. U folgt auch das Vertauschen von H mit G, d.h.
Unter Verwendung der Heisenbergschen Bewegungsgleichungen folgt, dass G eine Erhaltungsgröße ist; u.u. folgt aus der Existenz einer Erhaltungsgröße G eine Symmetrie U (das ist sozusagen die quantenmechanische Version des Noether-Theorems).
Bei Vorliegen einer Symmetrie kann man die Eigenzustände von H entsprechend der Darstellungen der Symmetrie U klassifizieren. D.h. die gemeinsamen Eigenzustände von H und G haben ein definiertes Transformationsverhalten bzgl. U.
PS: Natürlich bedeutet dies nicht, dass nur diese speziellen Zustände realisiert sein können. Es sind weiterhin beliebige Superpositionen möglich, allerdings lassen sich diese eben im o.g. Sinne nach gemeinsamen Eigenzuständen von H und G zerlegen.
jh8979
Verfasst am: 02. Jun 2014 10:11
Titel:
Ja, eine Symmetrie des Hamiltonoperators führt zu einer Symmetrie der Wellenfunktion.
Umgekehrt, zeigen Lösungen eines Problems in der Regel keine Symmetrie, wenn es das Problem selber nicht auch zeigt.
PS: Es gibt sicher Gegenbeispiele (zumindest zur zweiten Behauptung), aber das sind dann Zufälle oder speziell gewählte Bedingungen. Der Regelfall ist, dass Symmetrien miteinander korrespondieren.
Felix93
Verfasst am: 31. Mai 2014 10:27
Titel: Symmetrie der Wellenfunktion?
Hi,
Folgende Aussage habe ich gelesen:
Da H spiegelsymmetrisch ist, muss auch die Aufenthaltswahrscheinlichkeit spiegelsymmetrisch sein, also |ψ|^2 symmetrisch, also ψ(x) gerade oder ungerade Funktion.
Ansicht ist mir das schon klar. Meine Frage ist jedoch:
Gilt dies auch für Punktsymmetrie? Also wenn H punktsymmetrisch, dann gilt dies auch für |ψ|^2 und damit ist dann ψ(x) auf jeden Fall ungerade?
Gilt dies auch für keine Symmetrie? Also wenn H nicht-symmetrisch, dann gilt dies auch für |ψ|^2. Was gilt dann im nicht-symmetrischen Fall aber für ψ(x)?
Grüße
Felix