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[quote="McFleury"]Gestern Abend konnte ich leider nichts produktives zu Stande bringen. Und zu deinem Fehler, das ist menschlich ;). Aber wenn man es immer und immer wieder macht wie ich, dann ist es schlicht blöd und einfach dumm^^. Ich mein ich weiß was eine Taylorentwicklung ist, aber wie sie hier wirkt und wie man sie hier konkret berechnen soll ich mir unklar. Vor allem um welchen Entwicklungspunkt und wovon? [quote="McFleury"][b]Meine Frage:[/b] Betrachten Sie ein Teilchen der Masse m unter in folgendem Potential [latex]U(x) = x^2 \left(\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{4} x^2\right)[/latex], wo [latex]a_1,a_2 > 0.[/latex] [/quote] [quote="Feucht von Lipwig"] Hinzu kommt, das man in a) fordert, das a_2 klein gegen a_1 ist [/quote] Dann ist mein Potential [latex]U(x)=x^2 \frac{a_1}{2}[/latex]? Aber was hat dies mit dem Integral zu tun? Bei b) komme ich leider auch nicht weiter :( LG McFleury[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Feucht von Lipwig</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 28. Apr 2014 08:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Es kann sein, das die Lösung sehr knapp erscheint. Es wurden aber keine "Ideen" ausgelassen, sondern nur Rechnungen, d.h. du musst selbst mit dem Blatt und Stift ran und die Lösung als Plan nutzen, bevor du hier fragen stellst, ich werde Heute nämlich wenig Zeit haben. <br /> <br />Die a) findet man zB. im Scheck im Abschnitt "Zur Integration eindimensionaler Bewegungsgleichungen" <br /> <br />Ich schreibe es mal knapp und unmotiviert auf, da ich nicht viel Zeit habe: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E = \frac{m}{2} {\dot x}^2 + U(x) \Rightarrow \dot x = \sqrt{\frac{2}{m}(E - U(x)} \Rightarrow dt = \frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}(E - U(x)}} \Rightarrow t - t_0 = \sqrt{2/m} \int_{x(t_0)}^{x(t)} \frac{dy}{\sqrt{\frac{2}{m}{m}(E - U(y)}}"> <br /> <br />Der Vorletzte Schluss ist eine Eselsbrücke um sich den Satz zur Integration separabler DGL zu merken, dx/dt als Bruch zu behandeln ist mathematisch Unsinn, da es nur eine Notation für die Ableitung ist. <br /> <br />Zur b) <br /> <br />Substition <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U(x)/E = \sin^2 \varphi">, d.h. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x = \sqrt{\frac{2E}{a_1}} \sin \varphi"> (noch zu zeigen) <br /> <br />Also folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dx = \sqrt{\frac{2E}{a_1}} \cos \varphi d\varphi"> <br /> <br />und damit für das ursprüngliche Integral <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{x_0}^{x} (. . .) \rightarrow \int_{x_0}^{x} \frac{dx}{\cos \varphi}= \sqrt{\frac{m}{a_1}} \int_{\varphi_0}^{\varphi (t)}d\varphi"> <br /> <br /> <br />Daraus folgt T = 2 \pi \sqrt{m/a_1} <br /> <br />Der Sinus ist aber nur von -pi bis pi umkehrbar und demnach ist die Substitution auch nur für dieses Intervall zulässig. Aus Symmetrien folgt aber, das man über Teilchstücke integriegen kann zB.<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? T/4 = \sqrt{m/a_1} (\pi - 0)">, dabei wurde auch das negative Vorzeichen was gleich auftritt ausgeschlossen. <br /> <br /> <br />zeige jetzt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x = \sqrt{\frac{2E}{a_1}} \sin \varphi"> <br /> <br />Ausgangspunkt war die Definition <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U(x)/E = \sin^2 \varphi"> <br /> <br />d.h. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U(x) = x^2 ( \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{4}x^2) = a_1 x^2( 1/2 + \frac{a_2}{4a_1}x^2) \approx a_1 x^2 / 2"> <br />Näherung möglich wegen a_2/a_1 klein bei kleiner Störung. <br /> <br />Durch ziehen der Wurzel und Beschränkung auf die positive Lösung erhält man die Behauptung.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>McFleury</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Apr 2014 23:24<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Das ist gut, denn ich bin mit meinem Latein ziemlich am Ende, weiß vllt einigermaßen worum es geht, aber umgsetzt kriege ich es trotzdem nicht, was mich auch bei allem was ich mache scheitern lässt. Wäre nicht schlecht. Danke. <br /> <br />LG <br /> <br />McFleury</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Feucht von Lipwig</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Apr 2014 22:33<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Es würde mich sehr wundern, wenn es nicht im Skript oder der Mitschrift zu finden ist, ansonsten sollte sie in einem beliebigen Buch zur Newtonschen Mechanik, möglicherweise unter dem Punkt "Bewegungsgleichung in einer Dimension (für Potentialkräfte)" <br /> <br />Ich habe damals nur das Skript verwendet und kann daher keinen Namen nennen. <br /> <br /> <br />Bzgl. der Substitution solltest du mir vertrauen <img src="images/smiles/biglaugh.gif" alt="Big Laugh" border="0" /> Es wurde nur eine geeignetere Basis durch die Substitution gewählt. Die physikalischen Zusammenhänge sind dabei invariant geblieben und wurden lediglih auf enfachere mathematische Beschreibungen projiziert. Man kann ja auch eine Aussage in 20 verscheiden Sprachen formulieren <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /> <br /> <br />Wie soll phi denn unabhängig/Konstant sein, wenn man U(x)/E = sin^2 phi definiert, dadurch wird eine (erstmal nicht-eindeutige) Abhängigkeit implizit gegeben. <br /> <br />Führe also einfach die Substitution, so wie gefordert durch und du kommst widerspruchsfrei zum Ziel. <br /> <br />Wenn ich morgen Zeit finde, werde ich meine Lösung zur b) hier posten.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>McFleury</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Apr 2014 20:25<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Feucht von Lipwig hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Die Herleitung sollte so oder zumindest ihn ähnlicher Form zu finden sein. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wäre es möglich zu sagen wo? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Feucht von Lipwig hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /> <br />Das ist nicht ganz richtig es gilt nämlich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{x_0}^{x}\sqrt{\frac{m}{2E}} \frac{dx'}{\cos(\varphi)}"> <br /> <br />D.h. man muss um den Cosinus sinnvoll zu integrieren dx durch dphi darstellen, so wie man das in der Schule schon gelernt hat, und zwar mitihilfe der Ableitung dx/dphi. <br />Dazu muss man dann aber die erwähnte Formel herleiten (für a_2 = 0). Der Cosinus fliegt dann heraus.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Du meinst einfach Integrieren mit Hilfe einer geeigneten Substitution? Hm. Nein. Zu integrieren ist doch nach dx'. Im Argument vom Cosinus ist aber eine unabhängige Konstante, sprich eigentlich alles konstant betrachtbar. <br />Wie aus der Schule bekannt? Ich sehe gerade nicht worauf du hinaus willst, bzw. wie du erreichen willst, dass der Cosinus rausfliegt. <br />Dx' durch dphi darstellen; mit Hilfe der Ableitung dx' nach dphi. <br /> <br />Also mache ich einfach mal: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{dx'}{d\varphi}"> Aber dazu brauche ich doch eine geeignete Substitution? Ich bin verwirrt <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /> <br /> <br />Sry <br />McFleury</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Feucht von Lipwig</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Apr 2014 13:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>McFleury hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Wo wurde denn das behauptet? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Sie ist laut Aufgabenstellun in b) zu zeigen, bzw. herzuleiten. <br /> <br />zu a) <br />Ein Start wäre, da es sich hier um die Auffindung von Bewegungsgleichungen handelt, die Newtonsche Bewegugnsgleichung, allerdings muss man dann ein paar Tricks kennen um zum Ziel zu kommen. <br /> <br />Ich würde an deiner Stelle von der Enegie, die eine Konstante ist, ausgehen und nach der Geschwindigkeit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot x">. Damit ist dann eine separable DGL gegeben zu der es ein Formel gibt zur integration - fertig, übrigens wurde bisher noch kein spezielles Potential gewählt. <br /> <br />Die Herleitung sollte so oder zumindest ihn ähnlicher Form zu finden sein. <br /> <br />zu b) <br /> <br />Das ist nicht ganz richtig es gilt nämlich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{x_0}^{x}\sqrt{\frac{m}{2E}} \frac{dx'}{\cos(\varphi)}"> <br /> <br />D.h. man muss um den Cosinus sinnvoll zu integrieren dx durch dphi darstellen, so wie man das in der Schule schon gelernt hat, und zwar mitihilfe der Ableitung dx/dphi. <br />Dazu muss man dann aber die erwähnte Formel herleiten (für a_2 = 0). Der Cosinus fliegt dann heraus. <br /> <br />Versuche das erstmal…</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>McFleury</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Apr 2014 11:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Feucht von Lipwig hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Den Fehler habe ich gefunden, die Behauptung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x = \frac{2E}{a_1} \sin \varphi"> ist falsch, vermutlich wurde die Wurzel die um den Vorfaktor gehört vergessen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wo wurde denn das behauptet? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Feucht von Lipwig hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />zu b) <br />Ja es bleibt nur noch der harmonische Anteil des Oszillators übrig. Dann wird eine Substitution durchgeführt, die neue integrationsvariable ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi">. <br /> <br />Erstmal soll mit er angegeben Formel (Taylor) die Wurzel vor der Substition und die Wurzel nach der Substitution genähert werden. Die Ergebnisse sind dann gleich, wodurch eine Bezichung zwischen x und sin gegeben ist, die nur noch nach x umzustellen ist. <br /> <br />Die Wurzel im Intregral wird beibehalten und ergibt cos phi. <br /> <br />dx kann dann bekannterweise mithllfe von dx/dphi ersetzt werden. Letztendlich bleiben nur noch konstanten im Integral übrig.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Also ich versuche mir jetzt einen Fahrplan zu erstellen was zu tun ist. <br />Bei a) weiß ich einfach nicht wie ich loslegen soll... Ich sollst nur die Beziehung herleiten, nicht lösen. Aber wie ? <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Hinzu kommt, das man in a) fordert, das a_2 klein gegen a_1 ist</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich weiß wirklich nicht wie ich das Potential verwenden soll und diese Beziehung herleiten soll. <br /> <br />Bei b) <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{x_0}^{x}\sqrt{\frac{m}{2E}} \frac{dx'}{\cos(x')}"> <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /> <br />Dann substituiert man wie ich dich verstanden habe <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\cos(x') = \varphi">. Dann kann man leicht integrieren, nämlich mit dem Logarithmus. Danach soll ich die Taylorentwicklung machen? Und dann komme ich irgendwie nicht mehr hinterher, sry <br /> <br />Vielen Dank, lieber Gruß <br /> <br />McFleury</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Feucht von Lipwig</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Apr 2014 10:07<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Den Fehler habe ich gefunden, die Behauptung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x = \frac{2E}{a_1} \sin \varphi"> ist falsch, vermutlich wurde die Wurzel die um den Vorfaktor gehört vergessen. Wenn man die Wurzel beachtet, ergeben sich keine Probleme. Aus purer Dummheit habe ich ohne nachzudenken den Vorfaktor quadriert und den Unterschied auf einen Rechenfehler von mir geschoben. <br /> <br />Ich würde empfehlen meine Aussagen, die nicht direkt die Aufgabe betreffen erstmal aussen vor lassen und mir nur merken, das man zu gelösten Systemen eine kleine Störung hinzufügen kann und dann Methoden existieren Lösungen oder Annäherungen an das gestörte System liefern. <br /> <br />zu b) <br />Ja es bleibt nur noch der harmonische Anteil des Oszillators übrig. Dann wird eine Substitution durchgeführt, die neue integrationsvariable ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi">[latex]. <br /> <br />Erstmal soll mit er angegeben Formel (Taylor) die Wurzel vor der Substition und die Wurzel nach der Substitution genähert werden. Die Ergebnisse sind dann gleich, wodurch eine Bezichung zwischen x und sin gegeben ist, die nur noch nach x umzustellen ist. <br /> <br />Die Wurzel im Intregral wird beibehalten und ergibt cos phi. <br /> <br />dx kann dann bekannterweise mithllfe von dx/dphi ersetzt werden. Letztendlich bleiben nur noch konstanten im Integral übrig.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>McFleury</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Apr 2014 08:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Gestern Abend konnte ich leider nichts produktives zu Stande bringen. Und zu deinem Fehler, das ist menschlich <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" />. Aber wenn man es immer und immer wieder macht wie ich, dann ist es schlicht blöd und einfach dumm^^. <br />Ich mein ich weiß was eine Taylorentwicklung ist, aber wie sie hier wirkt und wie man sie hier konkret berechnen soll ich mir unklar. Vor allem um welchen Entwicklungspunkt und wovon? <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>McFleury hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br /> <br />Betrachten Sie ein Teilchen der Masse m unter in folgendem Potential <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U(x) = x^2 \left(\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{4} x^2\right)">, wo <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_1,a_2 > 0."> <br /> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Feucht von Lipwig hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Hinzu kommt, das man in a) fordert, das a_2 klein gegen a_1 ist <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Dann ist mein Potential <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U(x)=x^2 \frac{a_1}{2}">? <br />Aber was hat dies mit dem Integral zu tun? Bei b) komme ich leider auch nicht weiter <img src="images/smiles/frown2.gif" alt="unglücklich" border="0" /> <br /> <br />LG <br />McFleury</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Feucht von Lipwig</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Apr 2014 17:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">mann mann mann… <br />Ich habe eine Energeiabhängigkeit in der Periodendauer, die ich nun schon länger versuche los zu werden, aber ich finde meinen Fehler in meinen knappen Notizen nciht… Ich werde jetzt erstmal eine Pause machen und später nochmal drüber schauen. Mittlerweile bin ich einfach schon zu genervt von diesem blöden Fehler. <br /> <br />Zum Rest kannst du mir Fragen stellen...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Feucht von Lipwig</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Apr 2014 15:43<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Lass dir mal x^4 und x^2 plotten, zB. bei Wolfram-alpha mit dem Befehl "plot x^4 and x^2" <br />Anschaulich sollte dadurch die Näherung plausibel werden. <br /> <br />Quantitativ könnte man zB. folgendermaßen Argumentieren: Schränke auf kleine x-Werte ein, sodass eine Taylorentwicklung bis zu einer niedrigen Ordnung schon eine brauchbare Näherung ergibt. Entwickelt man das Potential dann in eine Taylorreihe und schneidet hinter dem 3. Term ab, bleibt U(x) = U_0 übrig. <br /> <br />Im Grunde läuft jede Argumentation mithilfe von Ordnungen auf die "Konvergenzgeschwindigket" von x^n, die für steigende n auch ansteigt, zurück. <br /> <br />Hinzu kommt, das man in a) fordert, das a_2 klein gegen a_1 ist <br /> <br />Aber das waren ohnehin nur Erläuterungen am Rande, die zeigen sollten, das man von einem bekannten und geschlossen lösbaren Problem auf ein neues System schließen kann mit kleinen Abweichungen in den Ergebnissen. <br /> <br />Zum Rest werde ich ich mich gleich äussern. Ich habe mich Gestern in Punkt b) an einer Stelle verlesen, damit das nicht nochmal passiert rechne ich die Aufgabe erstmal durch</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>kingcools</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Apr 2014 14:06<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Nun da frage ich mich immer wie man darauf kommt bzw. wie man erkennt, dass so groß ist dass es vernachlässigbar ist verglichen mit auf das uns bezogene Problem. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Die Logik funktioniert gerade nur für KLEINE x, d.h. x << 1, denn dann ist offensichtlich die vierte Potenz deutlich kleiner als die zweite d.h. der Fehler beim ignorieren der vierten Potenz fällt nicht so stark ins Gewicht.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>McFleury</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Apr 2014 07:40<span class="gen"> </span> Titel: Re: Teilchen in Potential</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Feucht von Lipwig hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Eine schöne Aufgabe, vermutlich gestellt in einer der ersten Theorie-Vorlesungen? Falls es euch nicht gesagt wurde, die Aufgabe gewährt einen ersten Einblick in das Thema "Störungen" von mechanischen Systemen, deren Behandlung, die Störungstheorie, so wie ich das kenne erst im Rahmen der Hamilton-Mechanik eingeführt wird. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja theoretische Physik 1. Wurde uns nicht gesagt. Momentan haben wir das Kepplerproblem durchgenommen und der gute Prof war empört und entsetzt wie Keppler auf seine Gesetze kam:D Total fix und fertig:D <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Feucht von Lipwig hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Um das zu verdeutlichen, man betrachtet einen Harmonischen Oszillator <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U_0 = \frac{a_1}{2}x^2"> <br /> <br />Hinzu kommt ein Term der den gewöhnlichen Harmonischen Oszillator "stört", sprich er repräsentiert einen äußeren physikalischen Einfluss auf das System wodurch sein Lösungsspektrum abgeändert wird. <br /> <br />Beschränkt man sich auf kleine x ist x^4 klein gegen x^2, d.h. man setzt ihn Null: <br /> <br />fx << 1: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? U(x) = U_0 + \frac{a_2}{2}x^4 \approx U_0 + 0"> <br /> <br />Durch den Abbruch der Taylorentwicklung in erster Ordnung muss man sch zwangsläufig auf kleine x beschränken, sodass sich für das System was in dem Falle dem H.O. entspricht selbstverständlich die Perioendauer das H.O. ergibt. Das wäre die nullte Entwicklung der Störungstheorie <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nun da frage ich mich immer wie man darauf kommt bzw. wie man erkennt, dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x^4"> so groß ist dass es vernachlässigbar ist verglichen mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x^2"> auf das uns bezogene Problem. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Feucht von Lipwig hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />zu a) Du sollst nur die Beziehung herleiten, nicht lösen, das wird in b) gemacht <br /> <br />zu b) sieh den Ausdruck unter der Wurzel mal ganz scharf an und streng ein wenig deine grauen Zellen an <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /> ich hoffe das trägt zur Vereinfachung bei, danach muss man wohl nochmal substituieren!? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Öhm darauf wäre ich nicht gekommen. Aber wie soll ich die Beziehung herleiten? Ich soll zeigen, dass diese dort stehende Gleichheit gilt. <br />Meine grauen Zellen regieren leider <img src="images/smiles/frown2.gif" alt="unglücklich" border="0" /> <br />Nun ja <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?1-\sin^2 \phi = \cos^2 \phi"> Dann habe ich etwas angenehmeres unter der Wurzel stehen aber die Tipps mit den Annäherungen weiß ich nicht zu nutzen. Nochmal substituieren? <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /> <br /> <br />c) wenn zu erstmal die Lösung helfen soll, konzentriere ich mich auf a) und b) <br /> <br />d) Reicht es dann zu sagen, dass was im ersten Zitat von mir steht? Das war ja mehr oder weniger eine Argumentation, es steht jedoch zeigen und zeigen ist nicht immer gut <img src="images/smiles/rock2.gif" alt="Rock" border="0" /> <br /> <br />Doch Einfachheit aus deiner Perspektive ist für mich eine Herkulesaufgabe <img src="images/smiles/biglaugh.gif" alt="Big Laugh" border="0" /> <br />Woraus soll ich denn die Taylorentwicklung machen? <br /> <br />Danke für deine ausführliche Antwort zu später Stunde <img src="images/smiles/up.gif" alt="Thumbs up!" border="0" /> <br /> <br />LG McFleury</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Feucht von Lipwig</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Apr 2014 00:59<span class="gen"> </span> Titel: Re: Teilchen in Potential</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Eine schöne Aufgabe, vermutlich gestellt in einer der ersten Theorie-Vorlesungen? Falls es euch nicht gesagt wurde, die Aufgabe gewährt einen ersten Einblick in das Thema "Störungen" von mechanischen Systemen, deren Behandlung, die Störungstheorie, so wie ich das kenne erst im Rahmen der Hamilton-Mechanik eingeführt wird. <br /> <br />Um das zu verdeutlichen, man betrachtet einen Harmonischen Oszillator <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U_0 = \frac{a_1}{2}x^2"> <br /> <br />Hinzu kommt ein Term der den gewöhnlichen Harmonischen Oszillator "stört", sprich er repräsentiert einen äußeren physikalischen Einfluss auf das System wodurch sein Lösungsspektrum abgeändert wird. <br /> <br />Beschränkt man sich auf kleine x ist x^4 klein gegen x^2, d.h. man setzt ihn Null: <br /> <br />fx << 1: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? U(x) = U_0 + \frac{a_2}{2}x^4 \approx U_0 + 0"> <br /> <br />Durch en Abbruch der Taylorentwicklung in erster Ordnung muss man sch zwangsläufig auf kleine x beschränken, sodass sich für das System was in dem Falle dem H.O. entspricht selbstverständlich die Perioendauer das H.O. ergibt. Das wäre die nullte Entwicklung der Störungstheorie <br /> <br />In Aufgabe e) wird dann die 2. Ordnung hinzugenommen, d.h. man dar sich von x=0 etwas weiter weg trauen, sodass die Störung effektiv beiträgt, daher sollte sich für die Periodendauer in e) noch ein weiterer Term ergeben der Abhängig von a_2 ist. Das ist natürlich auch wieder logisch, die Störung trägt merklich bei, also muss sich die Periodendauer auch ändern. <br /> <br />zu a) Du sollst nur die Beziehung herleiten, nicht lösen, das wird in b) gemacht <br /> <br />zu b) sieh den Ausdruck unter der Wurzel mal ganz scharf an und streng ein wenig deine grauen Zellen an <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /> ich hoffe das trägt zur Vereinfachung bei, danach muss man wohl nochmal substituieren!? <br /> <br />zu c) sollte klar werden, wenn man die Lösung kennt <br /> <br />zu d) siehe oben <br /> <br />zu e) bei b) einen Term der Taylor-Reihe hinzunehmen und das ganze nochmal rechnen. <br /> <br />Ich denke ich muss nicht erwähnen, das e) eine besere Näherung an die tatsächliche Lösung des Problems liefert als b) und das man durch Hinzunahme weiterer Terme das spielchen weiter treiben könnte.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>McFleury</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Apr 2014 22:11<span class="gen"> </span> Titel: Teilchen in Potential</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Einen guten Abend von meiner Seite. <br />Meine Aufgabe lautet wie folgt:<br />Betrachten Sie ein Teilchen der Masse m unter in folgendem Potential<br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U(x) = x^2 \left(\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{4} x^2\right)">, wo <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_1,a_2 > 0."><br />Es sei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t_0)=x_0."><br /><br />Nun muss ich bei a) zeigen, dass<br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t-t_0 = \int_{x_0}^{x} \sqrt{\frac{m}{2E}} \frac{dx'}{\sqrt{1-\frac{U(x')}{E}}}"><br /><br />b) Substituieren Sie <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{U(x)}{E} = \sin^2 \phi,"> nehmen Sie an dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_2"> nur eine kleine Korrektur ist und nutzen Sie <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sqrt{1+y} \simeq 1+ \frac 12 y,"> um zu zeigen dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x \simeq \frac{2E}{a_1} \sin \phi"><br />Tipp: Benutzen Sie, dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x^2"> positiv sein muss.<br /><br />c) Zeigen Sie unter Berücksichtigung von b), dass das Integral in (1) proportional zu <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi - \phi_0"> ist.<br /><br />d) Zeigen Sie dass die Schwingungsdauer <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2 \pi \sqrt{\frac{m}{a_1}}"> ist und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem harmonischen Oszillator.<br /><br />e) Finden Sie die Korrekturen zur Schwingungsdauer, wenn sie <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sqrt{1+y}"> bis zur zweiten Ordnung in y entwickeln<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Habe jetzt erstmal alle Aufgabenteile aufgeschrieben, weil sie vllt besser fürs Verständnis sind. Bei e) kommt mir direkt Herr Taylor in den Sinn und die von ihm bekannte Taylorentwicklung. Ist das richtig? Oder was ist mit entwickeln gemeint?<br /><br />Zu d) Die Schwingungsdauer des harmonischen Oszillators ist unabhängig von der Amplitude und ist:<br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T =\frac {1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}"><br />Zuvor soll ich aber zeigen, dass die Schwingungsdauer <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2 \pi \sqrt{\frac{m}{a_1}}"> ist. Da finde ich aber wirklich gar keinen Ansatz :(<br /><br />Bei der a) habe ich versucht das Integral zu lösen. Sprich ich habe das Potential eingesetzt, aber weiß nicht wie ich das integrieren soll?<br /><br />Bei b) habe ich mir die alternativen Formen von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 \phi}}"> angesehen, aber viel hat mir das nicht gebracht, da fehlt mir auch jegliche Vorstellung und Idee<br /><br />c) Vergessen wir erstmal.<br /><br />Danke für Hilfe+Aufmerksamkeit im voraus<br />LG McFleury</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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