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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="Feucht von Lipwig"]Nach Newton werden Bewegungen durch DGL 2. Ordnung beschrieben, daher ist dein zweites Ergebnis plausibel.

Ausserdem haben diese (nach Axiom expliziten) Differentialgleichungen die Form

[latex]\ddot x (t) = f(x, \dot x, t)[/latex]

in ener Dimension. Das lässt sich dann ganz natürlich auf n = 3 Dimensionen erweitern, ebenfalls nach Newton, indem man die  Zahl x durch den Vektor [latex]\vec{x}[/latex] ersetzt und f durch eine Vektorwertige Funktion [latex]\vec{f}[/latex].

Für die Einträge der Vektoren gilt dann:

[latex]\ddot x_i (t) = f_i(\vec x, \dot {\vec x}, t)[/latex]

Tauchen nun bspw. im Eintrag i = 1 die Werte der Koordinaten x_2 (=y) oder x_3 (= z) als Variablen der Funktion f_i auf, dann ist durch die Gleichung mit i = 1 eine Abhängigkeit zwischen den Koordinaten gegeben, das nennt man dann Kopplung und die DGL heisst dann gekoppelte DGL.

Diese Abhängikeit/Kopplung hast du bei der naiven Integration allerdings misachtet. y ist in em falle nicht einfach nur ein Funktion der Zeit, sondern auch eine Funktion von x. Integriert man dx/dt naiv, schaut man sich die Funktionen zu verschiedenen Zeiten an, d.h. zu verschiedenen x-werten, die wiederum zusätzlich zur zeitlichen Änderung eine zusätzliche (räumliche) Änderung des y hervorrufen.

D.h. man driftet beim Integrieren von der simplen "eindimensionalen x-Richtung" ab, d.h. es entsteht eine Kurve im Raum.

Durch eine neue, geeignete Basis, entkoppelt man (falls überhaupt möglich) dann die DGL, sodass jede Koordinate auf die gewöhnliche eindimensionale Form

[latex]\ddot x (t) = f(x, \dot x, t)[/latex]

zurückgeführt wird, wo auch die bekannten Rechenregeln für DGLs anwendbar sind, zB. beide Seiten Integrieren ;) Hier treten also keine Abhängigkeiten unter den verschiedenen Variablen auf, d.h. die DGL wurde dadurch entkoppelt.

[b]Lange Rede kurzer Sinn:[/b]

Man muss mehrdimensionale DGLs erst völlig entkoppeln um sie wie gewöhnliche 1-dim DGLs separat zu behandeln.

D.h. man muss y, y' durch x und x' ausdrücken, das wurde in diesem einfachen Fall durch gegenseitiges einsetzen der Gleichungen gemacht, wodurch sie entkoppelt wurden.[/quote]

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