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[quote="Jayk"]Was weißt du über orthogonal-krummlinige Koordinaten? Ich hab's nicht ausprobiert, aber ich könnte mir vorstellen, dass das den Prozess verkürzt. Angenommen, du hast eine Darstellung von [latex]\lbrace x_i \rbrace[/latex] durch [latex]\lbrace q_j \rbrace[/latex], wobei diese Koordinaten krummlinig orthogonal sind, das heißt, [latex]\left\langle \frac{\partial \vec x ( \vec q )}{\partial q_j} , \frac{\partial \vec x (\vec q )}{\partial q_k} \right\rangle = \sum_i \frac{\partial x_i}{\partial q_j}\frac{ \partial x_i }{ \partial q_k } \sim \delta_{j k}[/latex], dann ist [latex]\dd x_i = \sum_j \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \dd q_j[/latex] und ein infinitesimales Wegelement hat die Länge [latex]\dd s^2 = \sum_i \dd x_i^2 = \sum_{i, j, k} \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \frac{\partial x_i}{\partial q_k} \dd q_j \dd q_k = \sum_{i, j} \left( \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \dd q_j \right)^2[/latex] Dementsprechend ist die Geschwindigkeit [latex]\dot s = \sqrt{ \sum_{i, j} \left( \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \right)^2 \dot q_j^2 } = \sqrt{\sum_j h_j^2 \dot q_j^2}, \;h_j^2 := \sum_i \left( \frac {\partial x_i}{\partial q_j} \right)^2[/latex][/quote]
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TomS
Verfasst am: 06. Apr 2014 23:44
Titel:
Das ist nichts anderes als das, was du selbst vor hattest ;-)
Möbiusling
Verfasst am: 06. Apr 2014 23:38
Titel:
Hallo, ich glaub das ist zuviel für mich
ihr könnt aber ruhig weiter darüber reden wenn ihr wollt
Gruß
TomS
Verfasst am: 06. Apr 2014 23:34
Titel:
Nun, man kann das Möbiusband schon als gekrümmte Mannigfaltigkeit darstellen. Das entspricht aber keinem Potential, sondern einer nicht-trivialen kinetischen Energie
Die Anfrage ist nur, ob das für den jeweiligen Anwendungsfall notwendig ist.
Jayk
Verfasst am: 06. Apr 2014 23:29
Titel:
Ja, stimmt, da hätte ich eigentlich auch selbst drauf kömmen können.
Irgendwie war ich innerlich so darauf fixiert, das Teilchen einem Potential auszusetzen.^^ Ja, ich hatte die ganze Zeit ein Teilchen vor Augen, das im homogenen Kraftfeld auf einem Möbiusband schwingt.
Ach, und irgendwie frage ich mich angesichts jüngerer Threads gerade, was passiert, wenn man ein geladenes Teilchen in einer leitenden Kleinschen Flasche einsperrt.^^
TomS
Verfasst am: 06. Apr 2014 23:21
Titel:
Jayk hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Du kannst das Möbiusband auch ohne Einbettung im dreidimensionalen Raum rein topologisch betrachten. Die Geometrie ist lokal euklidisch, die Geodäten sind (lokal) Geraden, die Topologie steckt ausschließlich in den Randbedingungen.
http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_strip#Topology
"Okay. What would that imply?"
Na, genau das:
TomS hat Folgendes geschrieben:
die Geodäten sind (lokal) Geraden
(lokal!)
Jayk
Verfasst am: 06. Apr 2014 23:13
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Du kannst das Möbiusband auch ohne Einbettung im dreidimensionalen Raum rein topologisch betrachten. Die Geometrie ist lokal euklidisch, die Geodäten sind (lokal) Geraden, die Topologie steckt ausschließlich in den Randbedingungen.
http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_strip#Topology
"Okay. What would that imply?"
D2
Verfasst am: 06. Apr 2014 22:59
Titel:
Darf ich fragen ob es natürliche Moleküle gefunden worden waren die in Form eines Möbius Bandes waren?
http://www.heise.de/tp/artikel/12/12624/1.html
http://www.faz.net/aktuell/wissen/physik-chemie/chemie-ein-molekuel-ohne-rueckseite-1132718.html
Jayk
Verfasst am: 06. Apr 2014 22:56
Titel:
Verdammt, der Hinweis war eh unbrauchbar... Die Koordinaten sind nämlich gar nicht orthogonal.
Ja, ich hatte mich einfach auf das Bild bei Wikipedia verlassen, das das angedeutet hatte. Das stimmt aber nicht, nach meiner Berechnung liegen je nach Parameter Winkel von unter 10° bis über 40° vor.
TomS
Verfasst am: 06. Apr 2014 22:42
Titel:
Du kannst das Möbiusband auch ohne Einbettung im dreidimensionalen Raum rein topologisch betrachten. Die Geometrie ist lokal euklidisch, die Geodäten sind (lokal) Geraden, die Topologie steckt ausschließlich in den Randbedingungen.
http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_strip#Topology
Möbiusling
Verfasst am: 06. Apr 2014 22:36
Titel:
Hallo, ja mit Lagrange. Einfach so aus Spaß, mal gucken ob es irgendeine Impulserhaltung gibt, oder wie der Impuls aussieht oder so
Aber wenn man dann die Terme quadrieren muss wirds schon ziemlich hässlich. Über krummlinige Koordinaten weiß ich leider nix, ausser dass die Krumm sind. Naja vielleicht mach ich es irgendwann mal mit Wolfram Alpha oder so.
Gruß
Jayk
Verfasst am: 06. Apr 2014 21:38
Titel: Re: Bewegung eines Teilchen auf einem Möbius Band
Möbiusling hat Folgendes geschrieben:
Hey JO, ich will die Bewegungsgleichungen für ein Teilchen das sich in der Fläche eines Möbius bandes bewegt berechnen mit:
Gibt eine einfache Methode die Geschwindigkeit zu berechnen? Ich habs mal versucht aber nach dem gefühlten tausendsten Term hab ich keine Lust mehr gehabt.
Gruß
Aber wieso willst du eigentlich die Geschwindigkeit berechnen? Du willst die Sache doch nicht etwa mit newtonscher Mechanik aufziehen, oder?^^
PS: Sorry, natürlich braucht man für Lagrange die Geschwindigkeiten.^^
Jayk
Verfasst am: 06. Apr 2014 21:34
Titel:
Das sollte mit vertretbarem Aufwand möglich sein, aber es macht definitiv keinen Spaß und du machst Vieles umsonst, da die Hälfte der Terme sich gegenseitig weghebt, wenn du den Betrag der Geschwindigkeit berechnest.
Namenloser324
Verfasst am: 06. Apr 2014 20:53
Titel:
Ist die totale Zeitableitung bilden so umfangreich?
Einmal jeweils nach u respektive v ableiten und dann noch jeweils die totale Zeitableitung von u respektive v niederschreiben und in die allgemeine Kettenregel einsetzen und fertig. Sollte eigentlich recht schnell gehen.
Jayk
Verfasst am: 06. Apr 2014 20:14
Titel:
Was weißt du über orthogonal-krummlinige Koordinaten? Ich hab's nicht ausprobiert, aber ich könnte mir vorstellen, dass das den Prozess verkürzt.
Angenommen, du hast eine Darstellung von
durch
, wobei diese Koordinaten krummlinig orthogonal sind, das heißt,
, dann ist
und ein infinitesimales Wegelement hat die Länge
Dementsprechend ist die Geschwindigkeit
Möbiusling
Verfasst am: 06. Apr 2014 19:47
Titel: Bewegung eines Teilchen auf einem Möbius Band
Hey JO, ich will die Bewegungsgleichungen für ein Teilchen das sich in der Fläche eines Möbius bandes bewegt berechnen mit:
Gibt eine einfache Methode die Geschwindigkeit zu berechnen? Ich habs mal versucht aber nach dem gefühlten tausendsten Term hab ich keine Lust mehr gehabt.
Gruß