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[quote="jumi"]Zur Halbkreisaufgabe: Deine Vektorschreibweise lassen wir mal weg und betrachten den Halbkreis in der x-y-Ebene liegend mit dem Mittelpunkt im Ursprung und über der x-Achse. Da die Massenverteilung homogen ist, können wir die Dicht weglassen (= Dichte = 1 annehmen). Somit ist die Masse proportional der Bogenlänge. Offensichtlicht liegt der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse, also für x = 0. Den y-Wert bestimmen wir mit einem Integral. Wir betrachten ein Bogenelement, das beim Winkel phi zur x-Achse liegt. Es hat die Länge R*d(phi). Sein Moment bezüglich der x-Achse ist: R*d(phi)*R*sin(phi). Die Summe all dieser Momemte daher: [latex]2*\int_0^{\pi/2}R*sin(\varphi)*R*d\varphi[/latex] Dieses Integral muss gleich sein der Gesamtbogenlänge*y-Abstand des Schwerpunktes. [latex]2*\int_0^{\pi/2}R*sin(\varphi)*R*d\varphi=y_s*R*\pi[/latex] Das Integral ist leicht zu berechnen. Ergebnis ist [latex]y_s=2R/\pi[/latex][/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jumi</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Apr 2014 13:32<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Zur Halbkreisaufgabe: <br />Deine Vektorschreibweise lassen wir mal weg und betrachten den Halbkreis in der x-y-Ebene liegend mit dem Mittelpunkt im Ursprung und über der x-Achse. <br /> <br />Da die Massenverteilung homogen ist, können wir die Dicht weglassen (= Dichte = 1 annehmen). Somit ist die Masse proportional der Bogenlänge. <br />Offensichtlicht liegt der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse, also für x = 0. <br />Den y-Wert bestimmen wir mit einem Integral. <br />Wir betrachten ein Bogenelement, das beim Winkel phi zur x-Achse liegt. Es hat die Länge R*d(phi). <br />Sein Moment bezüglich der x-Achse ist: R*d(phi)*R*sin(phi). <br />Die Summe all dieser Momemte daher: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2*\int_0^{\pi/2}R*sin(\varphi)*R*d\varphi"> <br />Dieses Integral muss gleich sein der Gesamtbogenlänge*y-Abstand des Schwerpunktes. <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2*\int_0^{\pi/2}R*sin(\varphi)*R*d\varphi=y_s*R*\pi"> <br />Das Integral ist leicht zu berechnen. <br />Ergebnis ist <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?y_s=2R/\pi"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Calis04</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Apr 2014 11:24<span class="gen"> </span> Titel: Massenschwerpunkt Halbring, Stab und Pyramide</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br />Hallo, <br /> <br />Muss den Massenschwerpunkt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r_{s}}=\frac{1}{m}\int\!\vec{r} \, \dd m "> <br />Folgender Massenverteilung herausfinden... Integrale und Volumen sind nicht meine Stärke und weiss nicht genau wie vorgehen, habe auch die Suchfunktion benutzt aber nichts gefunden... <br /> <br />a) Ein dunner gleichförmiger Halbring mit dem Radius R und der linearen Dichte ?. <br /> <br />b) Ein dunner Stab der Länge l, dessen lineare Dichte linear zwischen ? = ?0 am linken Ende und ? = 2?0 am rechten Ende zunimmt. <br /> <br />c) Die unten abgebildete Pyramide fur den einfachen Fall einer homogenen Dichteverteilung. Geben Sie den Schwerpunkt in den Koordinaten des hier dargestellten Koordinatensystems an. <br /> <br /> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span> <br />Ehrlich gesagt leider habe ich keine Ideen...wäre für jede Hilfe oder kleinen Denkanstoss sehr dankbar</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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