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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="alex2007"][u][b]Folgende Aufgabe:[/b][/u]

Die Freie Enthalpie eines Systems sei gegeben durch:

[latex]G(T,p,N)=Nk_BT\left\{ -\frac{1}{6}\frac{T^2}{T_0^2}-\ln {\frac {V(p,T,N)}{V_0}}-\frac {Na}{V(p,T,N}+\frac{pV(p,T,N)}{Nk_BT}\right\} [/latex]

a, V_0 und T_0 seien konstant. Berechnen Sie die thermische und kalorische Zustandsgleichung, sowie die Wärmekapazität C_V,N und geben Sie die Entropie S(U,V,N) an.

(Hinweis: Ziehen Sie die Verwendung der freien Energie in Betracht)

[b][u]Meine Lösung:[/u][/b]

Es gilt:

[latex]I\quad G=U-TS+pV\\
II\quad dG=-SdT+Vdp+\mu dN\\
III\quad F=U-TS\\
IV\quad dF=-SdT-pdV +\mu dN[/latex]

Aus II folgt:

[latex]{\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)}_{p,N}=-S=-\frac {1}{2}Nk_B\left(\frac{T}{T_0}\right)^2\\
\\
{\left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)}_{T,N}=V=V(p,T,N)[/latex]
Aus I und III folgt:

[latex](i)\quad F=G -pV[/latex]
Wie man aus IV oder (i) leicht sehen kann, muss also gelten:
[latex]{\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)}_{T,N}=-p[/latex]

(i) eingesetzt liefert:
[b](thermische Zustandsgleichung)[/b]
[latex]p=Nk_BT\frac {1}{V}=p(T,V,N)[/latex]

Aus I folgt nun:

[latex](ii)\quad U=G+TS-pV[/latex]

mit den Werten gilt dann außerdem:

[latex]TS=\frac {1}{2}Nk_BT\left(\frac{T}{T_0}\right)^2\\
\\
-pV=-Nk_BT\\
\\
G=Nk_BT\left\{ -\frac{1}{6}\frac{T^2}{T_0^2}-\ln {\frac {V}{V_0}}-\frac {Na}{V}+1\right\}[/latex]

Die erhaltenen Werte Einsetzen liefert:
[b](kalorische Zustandsgleichung)[/b]
[latex]U(T,V,N)=Nk_BT\left\{\frac{1}{3} \left(\frac{T}{T_0}\right)^2 -\ln{\frac{V}{V_0}}-\frac{Na}{V}\right\} [/latex]

Die Entropie würde sich nun wie folgt errechnen:

U(T,V,N) nach T umstellen und dann in S von oben einsetzen

[latex]S(U,V,N)=\frac{3}{2}Nk_BT\left\{\frac{U}{Nk_BT} +\ln{\frac{V}{V_0}}+\frac{Na}{V}\right\} [/latex]

Die Wärmekapazität errechnet sich so:

[latex]C_{V,N}={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{V,N}=Nk_B\left(\frac{T}{T_0}\right)^2[/latex]

Kann mir bitte jemand sagen, ob ich das so richtig gerechnet habe? Wäre sehr dankbar, wenn jemand drüberschauen könnte. :thumb:[/quote]

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