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[quote="TomS"]Ganz allgemein berechnest du die Eigenzeit eines beliebigen Beobachters wie folgt: [latex]\tau_C = \int_C d\tau = \int_C \sqrt{dx_\mu\,dx^\mu} = \int_C \sqrt{g_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^\nu} [/latex] Dabei bedeutet g eine beliebige Raumzeit-Metrik und C eine beliebige Weltlinie, die ein Beobachter zurücklegt. Als nächstes nutzt du aus, dass die Schwarzschildmetrik diagonal ist und dass x° = t gilt. Damit folgt [latex]\tau_C = \int_C \sqrt{g_{00}\,dt^2 + g_{ii}(dx^i)^2 } = \int_0^T dt\,\sqrt{g_{00} + g_{ii}(v^i)^2 }[/latex] mit [latex] (v^0, v^i) = (1,\dot{x}^i)[/latex] Du siehst zwei Beiträge unter der Wurzel, einmal den rein gravitativen Effekt aus der 00-Komponente der Metrik, sowie den aus der SRT bekannten Effekt in v², allerdings noch verziert mit den ii-Komponenten der Metrik. Du verwendest, dass die Koordinatenzeit t (in Schwarzschildkoordinaten) mit der Eigenzeit des unendlich weit entfernten, statischen Beobachters übereinstimmt. [latex]\tau_\infty = T [/latex] Dies folgt aus der Form Schwarzschildmetrik [latex]d\tau^2 = \left(1-\frac{2GM}{r}\right)\,dt^2 - \left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}\,dr^2 - r^2\,d\Omega^2[/latex] die für r gegen Unendlich die Form [latex]d\tau_\infty^2 \sim dt^2 - dr^2 - r^2\,d\Omega^2[/latex] annimmt. Für statische Beobachter ist außerdem [latex] (v^0, v^i) = (1,0)[/latex] Die Eigenzeit eines anderen, ebenfalls statischen Beobachters bei Radius r findest du, in dem du wieder die v² - Terme (bzw. die Radial- und die Winkelterme) gleich Null setzt und nur die 00-Komponente behältst [latex]\tau = \int_C \sqrt{g_{00}\,dt^2 + g_{ii}(dx^i)^2 } = \int_0^T dt\,\sqrt{g_{00} + g_{ii}(v^i)^2 } \to \int_0^T dt\,\sqrt{g_{00} } = \sqrt{g_{00}} \;T = \sqrt{1-\frac{2GM}{r}} \;T [/latex] Daraus folgt die Zeitdilatation ausgedrückt mittels der Eigenzeiten zweier statischer Beobachter [latex]\tau_r = \sqrt{1-\frac{2GM}{r}} \;\tau_\infty [/latex] Natürlich kannst du auch zwei Beobachter i=1,2 bei Radien r1 und r2 betrachten: [latex]\tau_i = \sqrt{1-\frac{2GM}{r_i}} \;\tau_\infty [/latex] Im Quotienten der beiden Eigenzeiten für i=1,2 kürzt sich dann die Eigenzeit des Beobachters im Unendlichen heraus.[/quote]
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Nachricht
TomS
Verfasst am: 14. März 2014 17:19
Titel:
Ganz allgemein berechnest du die Eigenzeit eines beliebigen Beobachters wie folgt:
Dabei bedeutet g eine beliebige Raumzeit-Metrik und C eine beliebige Weltlinie, die ein Beobachter zurücklegt.
Als nächstes nutzt du aus, dass die Schwarzschildmetrik diagonal ist und dass x° = t gilt. Damit folgt
mit
Du siehst zwei Beiträge unter der Wurzel, einmal den rein gravitativen Effekt aus der 00-Komponente der Metrik, sowie den aus der SRT bekannten Effekt in v², allerdings noch verziert mit den ii-Komponenten der Metrik.
Du verwendest, dass die Koordinatenzeit t (in Schwarzschildkoordinaten) mit der Eigenzeit des unendlich weit entfernten, statischen Beobachters übereinstimmt.
Dies folgt aus der Form Schwarzschildmetrik
die für r gegen Unendlich die Form
annimmt.
Für statische Beobachter ist außerdem
Die Eigenzeit eines anderen, ebenfalls statischen Beobachters bei Radius r findest du, in dem du wieder die v² - Terme (bzw. die Radial- und die Winkelterme) gleich Null setzt und nur die 00-Komponente behältst
Daraus folgt die Zeitdilatation ausgedrückt mittels der Eigenzeiten zweier statischer Beobachter
Natürlich kannst du auch zwei Beobachter i=1,2 bei Radien r1 und r2 betrachten:
Im Quotienten der beiden Eigenzeiten für i=1,2 kürzt sich dann die Eigenzeit des Beobachters im Unendlichen heraus.
Higgs
Verfasst am: 14. März 2014 14:52
Titel: Gravitative Zeitdilatation
Meine Frage:
Es existiert doch eine Formel für die gravitative Zeitdilatation.
Auf dieser Seite gezeigt en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_time_dilation#Outside_a_non-rotating_sphere
Wie lautet die Herleitung dieser Gleichung? Warum gilt sie nur für den Spezialfall, dass sich der Beobachter im "Unendlichen" befindet?
Meine Ideen:
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