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[quote="jh8979"][quote="Jayk"] Das ist doch aber nicht schlimm, oder? Dann ist eben der entsprechende Impuls null, aber dann verschwindet ja der ganze Summand in der Hamiltonfunktion (weil mit null multipliziert). Also klar, das von mir formulierte Problem ist dann nicht lösbar, aber das ergibt sich ja dann auch gar nicht erst.^^ [/quote] In der klassischen Mechanik in der Tat nicht, aber in der QM schon, da man dort etwas wie [p,x]=i*hbar haben will. Aber da Du erstmal vom klassischen ausgingst hast Du vermutlich recht und das war kein gutes Beispiel (nur das erste das mir in der Hinsicht einfiel). [quote] An den Fall habe ich natürlich nicht gedacht. Du schreibst "man sieht leicht"... WIE leicht? [/quote] [i]Sehr[/i] leicht (es reicht ein Satz um es zu zeigen). Was zum Nachdenken für dich ;)[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. März 2014 23:58<span class="gen"> </span> Titel: Re: Eindeutigkeit der Hamiltonfunktion</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Jayk hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Das ist doch aber nicht schlimm, oder? Dann ist eben der entsprechende Impuls null, aber dann verschwindet ja der ganze Summand in der Hamiltonfunktion (weil mit null multipliziert). Also klar, das von mir formulierte Problem ist dann nicht lösbar, aber das ergibt sich ja dann auch gar nicht erst.^^ <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />In der klassischen Mechanik in der Tat nicht, aber in der QM schon, da man dort etwas wie [p,x]=i*hbar haben will. Aber da Du erstmal vom klassischen ausgingst hast Du vermutlich recht und das war kein gutes Beispiel (nur das erste das mir in der Hinsicht einfiel). <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />An den Fall habe ich natürlich nicht gedacht. Du schreibst "man sieht leicht"... WIE leicht? </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /><span style="font-style: italic">Sehr</span> leicht (es reicht ein Satz um es zu zeigen). Was zum Nachdenken für dich <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. März 2014 23:53<span class="gen"> </span> Titel: Re: Eindeutigkeit der Hamiltonfunktion</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>jh8979 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Jayk hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> Wodurch ist dann garantiert, dass dieses lineare Gleichungssystem eindeutig nach <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot q"> aufgelöst werden kann? Sprich: Wodurch ist garantiert, dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\operatorname{det} A \neq 0">?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />So allgemein ist das vermutlich gar nicht garantiert und auch gar nicht immer der Fall. Das ist z.B. eines der Probleme bei der Quantisierung des EM-Feldes: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot A^0"> taucht nicht in der Lagrangefunktion auf.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das ist doch aber nicht schlimm, oder? Dann ist eben der entsprechende Impuls null, aber dann verschwindet ja der ganze Summand in der Hamiltonfunktion (weil mit null multipliziert). Also klar, das von mir formulierte Problem ist dann nicht lösbar, aber das ergibt sich ja dann auch gar nicht erst.^^ <br /> <br />An den Fall habe ich natürlich nicht gedacht. Du schreibst "man sieht leicht"... WIE leicht? Ich werde morgen mal versuchen, genannte Zwangsbedingungen ins Spiel zu bringen, aber bereits jetzt war der Rechenaufwand z.B. für die <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_{i j }"> ganz schön hoch (ich hatte dann gemerkt, dass ich natürlich nicht einfach m=1 setzen darf, da ja mehrere Teilchen beteiligt sein können, daher hatte ich mein Ergebnis nicht gepostet, aber ich hatte schon eins für diesen Fall und selbst in diesen einfacheren Fall sehe ich nicht so leicht, wieso das Problem lösbar ist).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. März 2014 23:22<span class="gen"> </span> Titel: Re: Eindeutigkeit der Hamiltonfunktion</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Jayk hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> Wodurch ist dann garantiert, dass dieses lineare Gleichungssystem eindeutig nach <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot q"> aufgelöst werden kann? Sprich: Wodurch ist garantiert, dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\operatorname{det} A \neq 0">?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />So allgemein ist das vermutlich gar nicht garantiert und auch gar nicht immer der Fall. Das ist z.B. eines der Probleme bei der Quantisierung des EM-Feldes: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot A^0"> taucht nicht in der Lagrangefunktion auf. <br /> <br />Allerdings sieht man leicht, dass dies z.B. immer garantiert ist fuer "klassische" Probleme der Form: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?L = \frac{1}{2} m {\dot x}^2 - V(x)"> <br />(in beliebigen Dimensionen mit zeit- und geschwindigkeitsunabhängigen Zwangsbedingungen) <br /> <br />I.A. kann das ganze vermutlich jedoch selbst in der klassischen Mechanik sehr kompliziert werden.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. März 2014 23:13<span class="gen"> </span> Titel: Eindeutigkeit der Hamiltonfunktion</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich habe ein Problem, zu dem ich leider nirgends eine Lösung finde (ich schreibe das mal gleich dazu: Mich interessiert hier erst mal nur klassische Mechanik). Die Hamiltonfunktion ist ja definiert als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?H(p, q, t) = \sum_i p_i \dot q_i - L ,"> <br /> <br />wobei die verallgemeinerten Geschwindigkeiten <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot q_i"> durch die verallgemeinerten Impulse auszudrücken sind. Mein Problem ist: Wodurch ist garantiert, dass dies möglich ist? <br /> <br />Die Lagrangefunktion ist ja im Normalfall <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?L = \sum_{i, j} a_{i j} \dot q_i \dot q_j - V(q)"> mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_{i j } = a_{j i}">. Damit wären die konjugierten Impulse <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_m = \sum_{i \neq m} a_{i m} \dot q_i + \sum_{j \neq m} a_{m j} \dot q_j + 2 a_{m m} \dot q_m = 2 \sum_{i} a_{m i} \dot q_i">. Zusammenfassend könnte man das auch so schreiben: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p = 2 A \dot q"> (p und dot-q sind hier Vektoren aus dem <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathbb R^f">, <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A = (a_{i j })_{i, j} \in \mathbb R^{f \times f}">). Wodurch ist dann garantiert, dass dieses lineare Gleichungssystem eindeutig nach <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot q"> aufgelöst werden kann? Sprich: Wodurch ist garantiert, dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\operatorname{det} A \neq 0">? <br /> <br />Ich vermute, es hat etwas mit der Art der Zwangsbedingung zu tun, durch die die verallgemeinerten Koordinaten festgelegt werden. Ist das richtig? Wenn ja, hat vielleicht jemand einen Tipp, wie man zur Eindeutigkeit der Darstellung durch die Impulse kommt? <br /> <br />Außerdem ist das Problem hier ja schon etwas speziell. Wie allgemein darf man werden? Ich habe ja noch die Vermutung, dass diese Eindeutigkeit viel mehr etwas mit den Eigenschaften der Legendre-Transformation zu tun hat (die ja nur auf konvexe Funktionen angewandt werden kann).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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