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So gehts:
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[quote="Fontes"]Ausgehend von der Poisson-Gleichung [latex]\nabla^2 V(r) = -\frac{\rho(r)}{\epsilon_0}[/latex] soll gezeigt werden, dass für eine kugelsymmetrisch angeordnete, beschränkten Ladungsverteilung im Endlichen gilt: [latex]V(r) = \frac{1}{\epsilon_0} [\frac{1}{r} \int_0^r \! r'^2 \rho(r') \, \dd r' + \int_r^{\infty} \! r' \rho(r') \, \dd r' ][/latex] Mein Ansatz: Nun, der Laplaceoperator in Kugelkoordinaten ohne Raumwinkelabhängigkeit ist: [latex]\Delta_r = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial V(r)}{\partial r})[/latex] Damit habe ich also zu betrachten: [latex]\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial V(r)}{\partial r}) = -\frac{\rho(r)}{\epsilon_0}[/latex] Bzw: [latex]\frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial V(r)}{\partial r}) = -\frac{\rho(r)}{\epsilon_0} r^2[/latex] [latex](r^2 \frac{\partial V(r)}{\partial r}) = -\int \! \frac{\rho(r)}{\epsilon_0} r^2 \, \dd r [/latex] Zudem würde ich das Integral auf der rechten Seite aufspalten in "innerhalb" + "außerhalb", vom Unendlichen als Referenzpunkt ausgehend: [latex](r^2 \frac{\partial V(r)}{\partial r}) = -\int_{\infty}^r \! \frac{\rho(r')}{\epsilon_0} r'^2 \, \dd r' - \int_r^0 \! \frac{\rho(r')}{\epsilon_0} r'^2 \, \dd r' = \frac{1}{\epsilon_0} [\int_r^{\infty} \! \rho(r') r'^2 \, \dd r' + \int_0^r \! \rho(r') r'^2 \, \dd r'][/latex] Frage 1: Liege ich bis hierhin überhaupt richtig? Frage 2: Wenn ja, wie geht es weiter. Denn auf der linken Seite steht immernoch [latex]\frac{\partial V(r)}{\partial r}[/latex]. Das heißt, ich müsste ja irgendwie nochmal integrieren ...[/quote]
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pressure
Verfasst am: 29. Dez 2013 12:24
Titel:
Am einfachsten geht es wohl, wenn du den Laplaceoperator auf
anwendest und zeigst, das dieser Ausdruck die Possiongleichung erfüllt.
Fontes
Verfasst am: 26. Dez 2013 16:44
Titel: Potential kugelsymmetrische Ladungsverteilung
Ausgehend von der Poisson-Gleichung
soll gezeigt werden, dass für eine kugelsymmetrisch angeordnete, beschränkten Ladungsverteilung im Endlichen gilt:
Mein Ansatz:
Nun, der Laplaceoperator in Kugelkoordinaten ohne Raumwinkelabhängigkeit ist:
Damit habe ich also zu betrachten:
Bzw:
Zudem würde ich das Integral auf der rechten Seite aufspalten in "innerhalb" + "außerhalb", vom Unendlichen als Referenzpunkt ausgehend:
Frage 1: Liege ich bis hierhin überhaupt richtig?
Frage 2: Wenn ja, wie geht es weiter. Denn auf der linken Seite steht immernoch
. Das heißt, ich müsste ja irgendwie nochmal integrieren ...