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[quote="max_doering"]Hallo, hänge gerade an einer Übungsaufgabe zur Quantenmechanik. Es geht um den Tunneleffekt/Verhalten der Wellenfunktion am Kastenpotential. Das Potential ist als [latex]V=0[/latex] für [latex]x<0[/latex] und [latex]x>a[/latex] definiert, dazwischen beträgt es [latex]V_{0}[/latex] . Der Ansatz für die Wellenfunktion beträgt also: [latex]\Psi(x)=\left\{\begin{matrix} Ae^{ikx}+Be^{-ikx},x<0\\ Ce^{i\lambda x}+De^{-i\lambda x},0<x<a\\ Te^{ikx},x>a \end{matrix}\right.[/latex] wobei [latex]k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}[/latex] und [latex]\lambda=\frac{\sqrt{2m(E-V)}}{\hbar}=i|\lambda|[/latex] wegen [latex]E<V[/latex] Dann ergibt sich für die Stetigkeitsbedingungen. [latex] A+B=C+D \\ ik(A-B)=-|\lambda|(C-D)\\ Ce^{-|\lambda|a}+De^{|\lambda|a}=Te^{ika}\\ -|\lambda|(Ce^{-|\lambda|a}-De^{|\lambda|a})=ikTe^{ika}[/latex] Wenn ich das ganze jetzt löse bekomme ich für T in Abhängigkeit von A (gerechnet mit Mathematica) [latex] T=\frac{2Ae^{-ika}k|\lambda|}{2k|\lambda|cosh(a|\lambda |)-i(k^2-|\lambda|^2)sinh(a|\lambda|)}=\frac{Ae^{-ika}}{cosh(a|\lambda |)-\frac{i}{2}\frac{(k^2-|\lambda|^2)}{k|\lambda|}sinh(a|\lambda|)}[/latex] Das Ergebnis stimmt mit dem aus meinem Vorlesungsskript, und (fast) mit dem auf [url]http://de.wikipedia.org/wiki/Tunneleffekt#Tunneleffekt_am_Beispiel_des_Kastenpotentials[/url] überein (mit dem Unterschied von einem Faktor 2 in den Exponentialfunktionen) Die Tunnelwahrscheinlichkeit erhält man aus dem Verhältnis [latex] \frac{|T|^2}{|A|^2}=\frac{|Ae^{-ika}|^2}{|A|^2*|cosh(|\lambda|a)+\frac{i}{2}(\frac{|\lambda|}{k}-\frac{k}{|\lambda|})sinh(|\lambda|a)|}=\frac{1}{|cosh(|\lambda|a)+\frac{i}{2}(\frac{|\lambda|}{k}-\frac{k}{|\lambda|})sinh(|\lambda|a)|}\\=\frac{1}{cosh^2(|\lambda|a)+\frac{1}{4}(\frac{|\lambda|}{k}-\frac{k}{|\lambda|})^2sinh^2(|\lambda|a)}\\=\frac{1}{cosh^2(|\lambda|a)-\frac{1}{2}sinh^2(|\lambda|a)+\frac{1}{4}((\frac{|\lambda|}{k})^2+(\frac{k}{|\lambda|})^2)sinh^2(|\lambda|a)}[/latex] ...und das ist natürlich absoluter quatsch.. eigentlich müsste ein Term der Form 1+sinh^2 übrig bleiben. Ich hab jetzt schon ein paar stunden rumgerechnet und finde den Fehler einfach nicht. Wäre für einen Hinweis wirklich dankbar. MfG. max[/quote]
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yellowfur
Verfasst am: 13. Dez 2013 10:46
Titel:
Du bist fast da, benutze
und klammer den sinh aus
max_doering
Verfasst am: 12. Dez 2013 00:44
Titel: Transmissionswahrscheinlichkeit am Kastenpotential
Hallo,
hänge gerade an einer Übungsaufgabe zur Quantenmechanik. Es geht um den Tunneleffekt/Verhalten der Wellenfunktion am Kastenpotential. Das Potential ist als
für
und
definiert, dazwischen beträgt es
. Der Ansatz für die Wellenfunktion beträgt also:
wobei
und
wegen
Dann ergibt sich für die Stetigkeitsbedingungen.
Wenn ich das ganze jetzt löse bekomme ich für T in Abhängigkeit von A (gerechnet mit Mathematica)
Das Ergebnis stimmt mit dem aus meinem Vorlesungsskript, und (fast) mit dem auf
http://de.wikipedia.org/wiki/Tunneleffekt#Tunneleffekt_am_Beispiel_des_Kastenpotentials
überein (mit dem Unterschied von einem Faktor 2 in den Exponentialfunktionen)
Die Tunnelwahrscheinlichkeit erhält man aus dem Verhältnis
...und das ist natürlich absoluter quatsch.. eigentlich müsste ein Term der Form 1+sinh^2 übrig bleiben. Ich hab jetzt schon ein paar stunden rumgerechnet und finde den Fehler einfach nicht. Wäre für einen Hinweis wirklich dankbar.
MfG.
max