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[quote="Sunny94"]Hallo, ich wollte zur Übung mal die [b]Eigenschaften des Quadrupoltensors Q[/b] für eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung nachrechnen. Der Tenor Q muss ja 0 sein, also muss jedes Q_ij 0 sein: [latex]\varphi = 0 = \theta => \rho (\vec{r}) = \rho (r)[/latex] und daher wird Q_11 zu: [latex]Q_{11} = \int dV \rho (r) (3x^2 - r^2) = \int \int \int dr \, d \varphi \, d \theta \, \rho (r) \, r^2 sin(\theta) (3r^2 sin^2 (\theta) cos^2 (\varphi) - r^2) = \int \int^{2 \pi}_{0} \int^{\pi}_{0} dr \, d \varphi \, d \theta \, \rho (r) \, r^4 sin(\theta) (3sin^2 (\theta) cos^2 (\varphi) - 1) [/latex] Nun müsste doch eigentlich die [b]Winkelintegration[/b] von Phi und Theta 0 ergeben, oder? Dann wird ja das Ganze [latex]Q_{11} = 0[/latex]. Leider weiß ich nicht, wie ich das integrieren kann wegen dem[latex] cos(\phi)[/latex] Könnt ihr mir helfen? Danke und Grüße Sunny[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Sunny94</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Nov 2013 11:30<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Jup, ich habe mich einfach verrechnet gehabt. Deshalb kam nicht 0 heraus. <br /> <br />danke für die Antwort...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>pressure</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Nov 2013 18:18<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Richtig, die Winkelintegration liefert dir eine Null. Ich versteh aber nicht, wo dein Problem liegt? <br /> <br />Kannst du <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int^{2\pi}_0 \cos^2(\varphi) \,\dd \varphi = \pi"> <br /> <br />nicht berechnen? <br /> <br /> <br />Ohne Integration mit der Notation <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\left<\cdot \right>=\int \rho(r) \cdot \dd V"> <br /> <br />gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q_{11}=\left< 3x^2-r^2 \right> = 2 \left<x^2 \right> -\left< y^2 \right> + \left<z^2 \right>"> <br /> <br />Aufgrund der Symmetrie muss aber gelten: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\left<x^2\right>=\left<y^2\right>=\left<z^2\right>"> <br /> <br />also <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q_{11}=0">.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Sunny94</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Nov 2013 17:36<span class="gen"> </span> Titel: Quadrupoltensor für Kugelsymmetrische Ladungsverteilung?</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br />ich wollte zur Übung mal die <span style="font-weight: bold">Eigenschaften des Quadrupoltensors Q</span> für eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung nachrechnen. Der Tenor Q muss ja 0 sein, also muss jedes Q_ij 0 sein: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi = 0 = \theta => \rho (\vec{r}) = \rho (r)"> <br />und daher wird Q_11 zu: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q_{11} = \int dV \rho (r) (3x^2 - r^2) = \int \int \int dr \, d \varphi \, d \theta \, \rho (r) \, r^2 sin(\theta) (3r^2 sin^2 (\theta) cos^2 (\varphi) - r^2) = \int \int^{2 \pi}_{0} \int^{\pi}_{0} dr \, d \varphi \, d \theta \, \rho (r) \, r^4 sin(\theta) (3sin^2 (\theta) cos^2 (\varphi) - 1) "> <br /> <br />Nun müsste doch eigentlich die <span style="font-weight: bold">Winkelintegration</span> von Phi und Theta 0 ergeben, oder? Dann wird ja das Ganze <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q_{11} = 0">. <br />Leider weiß ich nicht, wie ich das integrieren kann wegen dem<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? cos(\phi)"> <br /> <br />Könnt ihr mir helfen? <br /> <br />Danke und Grüße <br />Sunny</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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