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[quote="DrComando"][b]Meine Frage:[/b] Angenommen wir betrachten eine Wechselwirkung zwischen 2 Fermionen [latex] V \sum_{k_i,k_j,k_m,k_n} c_{k_i}^\dagger c_{k_j}^\dagger c_{k_m} c_{k_n} \delta_k [/latex] wobei [latex]\delta_k [/latex] Impulserhaltung garantiert, das ist aber nicht so wichtig. Im Grunde geht es um die Summe ueber alle Momente. [b]Meine Ideen:[/b] Man kann nun einfach einige Terme anschreiben [latex] ... + \underbrace{c_{k_1}^\dagger c_{k_2}^\dagger c_{k_3} c_{k_4}}_{i=1,j=2,m=3,n=4} + \underbrace{c_{k_2}^\dagger c_{k_1}^\dagger c_{k_3} c_{k_4}}_{i=2,j=1,m=3,n=4} + ... \ .[/latex] Nun zieht man noch die Antikommutatorregeln hinzu [latex] [c_i,c_j]_+ = [c_i^\dagger,c_j^\dagger]_+ = 0 [/latex] [latex] [c_i,c_j^\dagger]_+ = c_i c_j^\dagger + c_j^\dagger c_i = \delta_{ij} [/latex] um die ersten beiden Operatoren zu vertauschen ([latex] c_{k_2}^\dagger c_{k_1}^\dagger = -c_{k_1}^\dagger c_{k_2}^\dagger [/latex]) womit man [latex] ... + c_{k_1}^\dagger c_{k_2}^\dagger c_{k_3} c_{k_4} - c_{k_1}^\dagger c_{k_2}^\dagger c_{k_3} c_{k_4} + ... [/latex] findet und die Summe verschwindet. Fuer Terme die nicht als Paare verschwinden, wie [latex] c_{k_1}^\dagger c_{k_1}^\dagger c_{k_3} c_{k_4} [/latex] gilt, dass doppelte Besetzung verboten ist womit auch solche Terme verschwinden. Wo ist der Fehler?[/quote]
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DrComando
Verfasst am: 05. Nov 2013 17:04
Titel:
verstehe. schoenen dank fuer die diskussion.
jh8979
Verfasst am: 05. Nov 2013 16:56
Titel:
DrComando hat Folgendes geschrieben:
besser gefaellt mir der ansatz die impulserhaltung antisymmetrisch zu machen.
Ja, das ist sicher eleganter.
DrComando
Verfasst am: 05. Nov 2013 16:40
Titel:
verstehe. das beschraenken der summe habe ich vermutet. das erschien mir aber nicht konsistent, denn sobald das potential auch nur schwach vom impulsuebertrag abhaengig ist, ist das beschraenken der summe nicht mehr notwendig. damit ergibt sich aber eine fuelle neuer konfigurationen die man fuer den konstanten fall unterdrueckt hat. es sollte aber keinen grossen unterschied machen wenn das potential schwach oder gar nicht vom momentum transfer abhaengig ist.
ist das beschraenken der summe tatsaechlich erlaubt?
besser gefaellt mir der ansatz die impulserhaltung antisymmetrisch zu machen. vmtl waere die form
geeignet? damit scheinen saemtliche antikommutierende paare verschwunden wenn ich mich nicht irre. vertauschen der momente
verdreht stets die erzeuger und vernichter und es entsteht kein negatives vorzeichen beim zuruecktauschen.
jh8979
Verfasst am: 05. Nov 2013 16:07
Titel:
DrComando hat Folgendes geschrieben:
ein zusaetzlicher index aendert natuerlich einiges. nicht selten werden aber spinlose fermionen fuer vereinfachte modelle verwendet. muss man in diesem fall die summe dermassen beschraenken damit antikommutierende terme nicht verschwinden?
Ja, zum Beispiel. Oder Du musst die Impulserhaltung in der Delta-Funktion so formulieren, dass sie auch antisymmetrisch unter Vertauschung der entsprechenden Impulse ist.
Zitat:
ich nehme an, dass spinlose modelle nicht generell unphysikalisch sind.
In relativistischser QFT schon, da dort ein Zusammenhang zwischen Spin und Statistik herrscht. In effektiven Festkoerpermodellen, kann das aber durchaus vorkommen (z.B. 1-D Heisenbergmodel und dann Jordan–Wigner Transformation durchführen).
DrComando
Verfasst am: 05. Nov 2013 15:24
Titel:
ein zusaetzlicher index aendert natuerlich einiges. nicht selten werden aber spinlose fermionen fuer vereinfachte modelle verwendet. muss man in diesem fall die summe dermassen beschraenken damit antikommutierende terme nicht verschwinden? ich nehme an, dass spinlose modelle nicht generell unphysikalisch sind.
jh8979
Verfasst am: 05. Nov 2013 14:52
Titel:
Die Erzeugungsoperatoren sind fuer verschiedner Spins verschieden. Korrekt aufgeschrieben verschwindet die WW natürlich nicht. Dort steht sowas wie
, etc...
Siehe z.B. Seite 15 hier:
http://katzgraber.org/proseminar/SS07/files/burgener.pdf
DrComando
Verfasst am: 05. Nov 2013 14:16
Titel:
hm, verstehe. vorweg, natuerlich korrekt, das kronecker delta gehoert hin. generell ist das wechselwirkungspotential
abhaengig vom impulsuebertrag
. das verhindert, dass man ausschliesslich antikommutierende paare erhaelt sondern paare mit verschiedenen potential vorfaktoren
- da stimmen wir glaub ich ueberein. inwiefern ist es nun unphysikalisch wenn der potentialterm
konstant ist?
zumindest bei einem beispiel erinnere ich mich wird das wechselwirkungspotential konstant angenommen und zwar beim BCS hamiltonian:
der erste term steht fuer die kinetische energie freier fermionen waehrend der zweite term die Cooper-paar wechselwirkung beschreibt. wenn man hier ueber alle momente summiert scheinen die wechselwirkgungs terme zu verschwinden.
pressure
Verfasst am: 05. Nov 2013 09:15
Titel:
Wenn das dein Operator ist (mit einem entsprechenden Kronecker-Delta statt der Delta-Distribution), dann hast du vollkommen recht und es kommt zur "Katastrophe". Das ist aber physikalisch vollkommen unproblematisch, weil dieser 2-Teilchen-Operator unsinnig/unphysikalisch ist.
DrComando
Verfasst am: 04. Nov 2013 16:49
Titel:
Um Impulserhaltung zu garantieren muss
sein.
pressure
Verfasst am: 31. Okt 2013 10:18
Titel:
Dazu müsstest du den Wechselwirkungsoperator mal konkret angeben, also auch
spezifizieren? Alternativ könnten wir beispielhaft die Coulomb-WW betrachten.
DrComando
Verfasst am: 31. Okt 2013 02:14
Titel:
Ich sehe ein dass die Impulserhaltung fuer die obige Wechselwirkung wichtig ist. Koenntest du etwas genauer erklaeren welche Terme verschwinden und welche nicht?
pressure
Verfasst am: 30. Okt 2013 17:23
Titel:
Gewisse Terme verschwinden vielleicht, nicht aber alle. Wenn du nicht einsehen willst, dass alle Physik bzw. Eigenschaften in
liegen, kann ich dir nicht weiterhelfen. Ja, es ist richtig, dass
unter anderem die Impulserhaltung garantiert, aber nicht nur.
DrComando
Verfasst am: 30. Okt 2013 02:08
Titel: Danke für die Antwort.
Die Impulserhaltung verbietet gewisse Kombinationen an Termen. Das von mir gegebene Beispiel von verschwindenden Summentermen bleibt auch bei Impulserhaltung möglich. Schließlich handelt es sich bei den beiden sich auslöschenden Termen um physikalisch idente Prozesse, die entweder beide die Impulserhaltung erfüllen oder eben nicht.
Die Antikommutator Regeln basieren auf dem Pauli Prinzip und ich glaube es ist equivalent zu sagen, dass doppelte Besetzung oder die Antikommutator Relation
verschwinden lässt.
pressure
Verfasst am: 29. Okt 2013 18:46
Titel: Re: Quanten Operator Katastrophe
DrComando hat Folgendes geschrieben:
wobei
Impulserhaltung garantiert, das ist aber nicht so wichtig.
Ich würde mal behaupten, dass dein Fehler hier liegt. In
stecken sämtliche Eigenschaften dieses Zwei-Teilchen-Operators via den zugehörigen Matrixelementen.
ist also nicht "nicht so wichtig", sondern extrem wichtig und kann man nicht einfach unter dem Tisch fallen lassen.
Übrigens ist
, wie du schnell mit den Kommutatorrelationen siehst - du brauchst also nicht zwingend mit doppelter Besetzung argumentieren.
DrComando
Verfasst am: 29. Okt 2013 10:00
Titel: Quanten Operator Katastrophe
Meine Frage:
Angenommen wir betrachten eine Wechselwirkung zwischen 2 Fermionen
wobei
Impulserhaltung garantiert, das ist aber nicht so wichtig. Im Grunde geht es um die Summe ueber alle Momente.
Meine Ideen:
Man kann nun einfach einige Terme anschreiben
Nun zieht man noch die Antikommutatorregeln hinzu
um die ersten beiden Operatoren zu vertauschen (
) womit man
findet und die Summe verschwindet. Fuer Terme die nicht als Paare verschwinden, wie
gilt, dass doppelte Besetzung verboten ist womit auch solche Terme verschwinden.
Wo ist der Fehler?