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[quote="DudlDi"][b]Meine Frage:[/b] Hallo zusammen, Im vergangenen Semester hab ich Relativistische Quantenmechanik gehört und dieses Semester mache ich mit QFT weiter. Allerdings habe ich noch Verständnisschwierigkeiten was die Darstellungen der Poincare-Gruppe bzw. SL(2,C) angeht. Vielleicht fang ich mal ganz banal an und frage was überhaupt eine Darstellung ist. Damit meine ich nicht mathematisch, sondern anschaulich. Das rechnen ist kein Problem nur die Vorstellung, sprich warum spricht man über Darstellungen und nicht über Lorentz-Transformationen direkt? Vielleicht belasse ich erstmal damit und frage dann nochmal nach. Viele Grüße [b]Meine Ideen:[/b] Ansätze hab ich nicht, da es sich hier nicht um eine konkrete Aufgabe handelt. Wie gesagt das Rechnen ist kein Problem.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DudlDi</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Okt 2013 00:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Okay das muss ich mir mal ein bisschen länger angucken. Wenn ich noch Fragen habe, melde ich mich. <br /> <br />Vielen Dank für die Hilfe. <br /> <br />Grüße</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Okt 2013 22:27<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hab' den Beitrag noch ergänzt. <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DudlDi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die zugehörige Gruppe ist hier die <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? SO(3) "> bzw. quantenmechanisch <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? SU(2) "> richtig?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die SU(2) sowie die SU(3) existieren bereits klassisch als Matrixgruppen. Z.B. gilt für die 1/2-Darstellung der SU(2) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U(\theta_i) = e^{i\theta_i\sigma_i / 2}"> <br /> <br />wobei theta den drei Drehwinkeln entspricht. <br /> <br />Die Algebra so(3) und su(2), d.h. die Kommutatoren sind identisch! Der Unterschied kommt erst auf Ebene der Gruppen zum tragen. Die Darstellungen der SO(3) lauten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?j=0,1,2,\ldots"> <br /> <br />die der SU(2) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?j=0,1/2,1,3/2,2,..."> <br /> <br />Das hat also nichts mit QM zu tun. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DudlDi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Okay und wie ist das mit der Eindeutigkeit? Kann es z.B. meherer Systeme an 2x2 Matrizen geben, die die Algebra erfüllen oder ist das eindeutig, sprich wenn ich eine Darstellung habe, dann ist die die Einzige und somit wäre gerechtfertigt, dass gerade diese eine physikalische Interpretation hat.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein, die Darstellung ist nicht immer eindeutig. Zunächst mal muss man "eindeutig" definieren. Zwei Darstellungen heißen äquivalent, wenn man alle Matrizen (oder Operatoren) durch eine Transformation <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T_i \to T_i^\prime = S^\dagger \, T_i \, S"> <br /> <br />aufeinander abbilden kann. Für die SO(3) bzw. SU(2) kann man zeigen, dass verschiedene Darstellungen bis auf diese Trf. S eindeutig durch j definiert sind. <br /> <br />Für die SU(3) u.a. gilt dies nicht. Es gibt z.B. zwei inäquivalente fundamentale Darstellungen der SU(3), d.h. es existiert keine o.g. Trf. S. Übrigens liegen Quarks und Antiquarks genau in diesen beiden inäquivalenten Darstellungen. <br /> <br />Wenn ich mich recht erinnere hängt dies mit dem sog. Rang der Gruppe zusammen, genauso wie die Anzahl der unabhängigen Casimir-Operatoren. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DudlDi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Je Algebra gibt es eine Liste derartiger Darstellungen. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Pro Raum oder abhängig vom Raum?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Algebraisch formal. Die Darstellung der SO(3) ist durch j eindeutig festgelegt. Insofern ist es unerheblich, ob ich die Darstellung als 3-Vektor oder als Ket |jm> oder als Kugelflächenfunktionen betrachte (diese unterschiedlichen Räume sind nicht mit "Darstellungen" gemeint)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DudlDi</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Okt 2013 21:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">In der Physik reicht es häufig aus, die Algebra statt der Gruppe zu betrachten. Einfachstes Beispiel: Drehimpuls. Die Drehimpuls-Algebra lautet <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?[J_i, J_k] = i\,\epsilon_{ikl}\,J_l"> <br /> <br />Dabei ist es egal, um was für Objekte es sich da handelt. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Die zugehörige Gruppe ist hier die <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? SO(3) "> bzw. quantenmechanisch <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? SU(2) "> richtig? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Nun können wir verschiedene Objekte konstruieren, die diese Eigenschaft erfüllen. Im Falle der Drehimpulsalgebra sind dies zunächst Matrizen (2*2: Pauli, 3*3, ...) die auf Vektoren (2-Spinoren, 3-Vektoren, ...) wirken. Diese "Konkretisierung" der abstrakten Algebra nennt man eine Darstellung. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Okay und wie ist das mit der Eindeutigkeit? Kann es z.B. meherer Systeme an 2x2 Matrizen geben, die die Algebra erfüllen oder ist das eindeutig, sprich wenn ich eine Darstellung habe, dann ist die die Einzige und somit wäre gerechtfertigt, dass gerade diese eine physikalische Interpretation hat. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Je Algebra gibt es eine Liste derartiger Darstellungen. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Pro Raum oder abhängig vom Raum? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C^{(1)} = J^2 = j(j+1)\,\cdot\,1"> <br /> <br />Letzteres ist in jeder (!) Darstellung einfach eine Zahl mal der Einheitsmatrix. <br /> <br />Die Darstellung ist durch <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?j = n/2;\;n \in \mathbb{N}^0"> <br /> <br />eindeutig festgelegt <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja die Sache mit den Casimir-Operatoren wollte ich mir auch nochmal angucken, das hab ich noch nicht verstanden. <br /> <br />Danke</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Okt 2013 21:40<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">In der Physik reicht es häufig aus, die Algebra statt der Gruppe zu betrachten. Einfachstes Beispiel: Drehimpuls. Die Drehimpuls-Algebra lautet <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?[J_i, J_k] = i\,\epsilon_{ikl}\,J_l"> <br /> <br />Dabei ist es egal, um was für Objekte es sich da handelt. <br /> <br />Nun können wir verschiedene Objekte konstruieren, die diese Eigenschaft erfüllen. Im Falle der Drehimpulsalgebra sind dies zunächst Matrizen (2*2: Pauli, 3*3, ...) die auf Vektoren (2-Spinoren, 3-Vektoren, ...) wirken. Diese "Konkretisierung" der abstrakten Algebra nennt man eine Darstellung. <br /> <br />Je Algebra gibt es eine Liste derartiger Darstellungen. Diese haben eine physikalische Bedeutung. Im Falle der Drehimpulsalgebra klassifiziert man die Darstellungen anhand des (ersten) sogenannten Casimiroperators (bei <br />der Lorentz-Algebra gibt es zwei derartiger Casimiroperatoren). <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C^{(1)} = J^2 = j(j+1)\,\cdot\,1"> <br /> <br />Letzteres ist in jeder (!) Darstellung einfach eine Zahl mal der Einheitsmatrix. <br /> <br />Die j-Darstellung ist durch <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?j = n/2;\;n \in \mathbb{N}^0"> <br /> <br />eindeutig festgelegt. j ist der bekannte Drehimpuls. <br /> <br />Dann brauchen wir die Dimension einer j-Darstellung. Im Falle des Drehimpuls ist dies <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\text{dim}_j = 2j+1"> <br /> <br />entsprechend der 2j+1 Werte für <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?j_3 = -j, -j+1 \ldots j-1, j"> <br /> <br />bzw. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|j_3| \le j"> <br /> <br />Für die o.g. Matrizen und Vektoren bedeutet dies, dass man je j genau (2j+1)*(2j+1) Matrizen verwenden muss. Spin j=1/2 kann man ausschließlich mittels 2*2 Matrizen darstellen. <br /> <br />Bisher war das alles Algebra. In der QM haben wir jedoch Wellenfunktionen oder allgemein Quantenzustände in einem Hilbertraum. D.h. statt der o.g. Matrizen haben wir Operatoren. <br /> <br />Ein Beispiel: Der Bahndrehimpulsoperator <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{J} = \vec{x} \times \vec{p}"> <br /> <br />mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{p} = -i\nabla"> <br /> <br />entspricht genau der Algebra (den o.g. Matrizen) der 1-Darstellung, also j=1. Die abstrakten Zustände <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|j,j_3\rangle"> <br /> <br />oder die konkreten Kugelflächenfunktionen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Y_{j,j_3}(\Omega)"> <br /> <br />entsprechen den o.g. Vektoren. Die Dimension "passt" weiterhin, denn die wird ja durch die erlaubten j_3 Werte festgelegt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DudlDi</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Okt 2013 21:21<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ahhh, das heißt die Darstellungen der Elemente der Gruppe sind Operatoren deren Form davon abhängt in welchen Raum ich rechne? <br /> <br />Ist das denn eindeutig? Also wenn ich sage ich will eine Darstellung der Poincare-Gruppe in bspw. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathbb{C}^{4\times 4}">, wann gibt es dann ein passendes U und ist das auf diesem Raum eindeutig? <br /> <br />Grüße</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Okt 2013 21:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Dass man bei 4er-Vektoren <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Lambda"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a"> schreibt ist reine Konvention, eigentlich sollte es auch hier <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U(\Lambda)">, etc heissen, mit passendem U(.).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DudlDi</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Okt 2013 21:01<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Achso die <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \omega_{\mu\nu} "> sind die Parameter der Lorentz-Trafo, sodass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \omega_{\mu\nu} = -\omega_{\nu\mu} "> gilt, sprich <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \Lambda =e^\omega "> <br />Ist das so alles richtig?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DudlDi</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Okt 2013 20:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke, das hilft schon mal ein kleines bisschen.Können wir das mal Anhand von Beispielen machen? <br /> <br />Also nehmen wir ein Element aus der Poincare-Gruppe <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? (\Lambda, a)">, wobei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \Lambda "> eine Lorentz-Transformation ist und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a"> eine Translation. Dann ist eine Darstellung dieses Elementes gegeben durch <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? U(\Lambda,a)=\exp{(-\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}+i a_\mu P^\mu}) "> richtig? <br /> <br />Warum transformieren sich die Zustände jetzt mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U(\Lambda,a)"> und Vierervektoren mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Lambda"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a">? Wo ist da der Zusammenhang? <br /> <br />Danke nochmal.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Okt 2013 20:29<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Grob: <br />Darstellung = Die Gruppenoperation wird auf Operatoren abgebildet, die auf Zustände wirken. Die Bedingung: Die Operatoren verhalten sich unter Verknüpfung genauso wie die zu ihnen gehörigen Gruppenelemente. <br /> <br />Es gibt aber verschiedene Weisen wie dies realisiert werden kann, z.B kann jeder Zustand auf 1 abgebildet werden, d.h. Dein Zustand ändert sich nicht und die Gruppenoperation wird trivialerweise erhalten (bei Lorentztransformationnen wäre dies ein Skalar).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DudlDi</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Okt 2013 20:23<span class="gen"> </span> Titel: Darstellungen der Poincare-Gruppe und Teilchen</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hallo zusammen,<br /><br />Im vergangenen Semester hab ich Relativistische Quantenmechanik gehört und dieses Semester mache ich mit QFT weiter. Allerdings habe ich noch Verständnisschwierigkeiten was die Darstellungen der Poincare-Gruppe bzw. SL(2,C) angeht.<br /><br />Vielleicht fang ich mal ganz banal an und frage was überhaupt eine Darstellung ist. Damit meine ich nicht mathematisch, sondern anschaulich. Das rechnen ist kein Problem nur die Vorstellung, sprich warum spricht man über Darstellungen und nicht über Lorentz-Transformationen direkt?<br /><br />Vielleicht belasse ich erstmal damit und frage dann nochmal nach.<br /><br />Viele Grüße<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Ansätze hab ich nicht, da es sich hier nicht um eine konkrete Aufgabe handelt. Wie gesagt das Rechnen ist kein Problem.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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