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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
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Formeleditor
[quote="Jayk"][quote="sdadsds"]Gradient, Rotation etc sind Begriffe der "Vektoranalysis", wenn man diese jedoch verlässt und das Ganze verallgemeinert, kommen solche Definitionen, wie Ableitung nach einem Vektor.[/quote] Naja, die Stelle, wo das im Landau geschrieben wurde, war bei der Herleitung des ersten Newtonschen Gesetzes aus dem Hamiltonschen Prinzip: [latex]\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \vec v} = 0[/latex]. Das hat ja jetzt mit Vektoranalysis nicht so unheimlich viel zu tun. Die Stelle, die ich dem Bronstein entnommen habe, war gerade zur Definition des Gradienten am Anfang des Vektoranalysis-Kapitels. PS: Da fällt mir auf, dass nur die eine Interpretation die platzsparende Schreibweise [latex]\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec q}} = \frac{\partial L}{\partial \vec q}, \vec q = (q_1, \dots, q_n)^\mathbf{T}[/latex] zulässt.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Sep 2013 20:00<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>sdadsds hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Gradient, Rotation etc sind Begriffe der "Vektoranalysis", wenn man diese jedoch verlässt und das Ganze verallgemeinert, kommen solche Definitionen, wie Ableitung nach einem Vektor.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Naja, die Stelle, wo das im Landau geschrieben wurde, war bei der Herleitung des ersten Newtonschen Gesetzes aus dem Hamiltonschen Prinzip: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \vec v} = 0">. Das hat ja jetzt mit Vektoranalysis nicht so unheimlich viel zu tun. Die Stelle, die ich dem Bronstein entnommen habe, war gerade zur Definition des Gradienten am Anfang des Vektoranalysis-Kapitels. <br /> <br />PS: Da fällt mir auf, dass nur die eine Interpretation die platzsparende Schreibweise <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec q}} = \frac{\partial L}{\partial \vec q}, \vec q = (q_1, \dots, q_n)^\mathbf{T}"> zulässt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>sdadsds</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Sep 2013 19:04<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Gradient, Rotation etc sind Begriffe der "Vektoranalysis", wenn man diese jedoch verlässt und das Ganze verallgemeinert, kommen solche Definitionen, wie Ableitung nach einem Vektor. <br />Man nutzt aber in Anfängerliteratur gern Gradient, weil man damit automatisch eine Reihe von physikalischen Aussagen(z.B. über die Richtung) verbindet.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Sep 2013 15:43<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke, jh8979. <br /> <br />TomS, entschuldigung, mir war gar nicht aufgefallen, dass du noch den Artikel in Wolfram MathWorld verlinkt hattest. Die Schreibweise dort deckt sich ja mit der im Wikipedia-Artikel.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Sep 2013 14:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Es gibt natürlich unterschiedlichste Schreibweisen und Notationen. Aber normalerweise bedeutet es das, was es nach Dir im Landau heisst: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial f}{\partial \vec x} = \vec \nabla f"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Sep 2013 14:33<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke TomS! Allerdings ging es mir jetzt auch nicht direkt um die Richtungsableitung, sondern viel mehr darum, wie man Ausdrücke wie <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\partial S / \partial \vec v"> interpretieren muss und vor allem, wie es aufgefasst wird, wenn man sie verwendet. Man kann ja keine Formeln als Titel wählen, "Richtungsableitung" war vielleicht etwas schlecht gewählt. <br /> <br />Im Artikel unter "In the continuum mechanics of solids"->"Derivatives of scalar valued functions of vectors" steht ja <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Let <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f(\vec{v})"> be a real valued function of the vector <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{v}">. Then the derivative of <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f(\vec{v})"> with respect to <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{v}"> (or at <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{v}">) in the direction <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{u}"> is defined as <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}\cdot\vec{u} = Df(\vec{v})[\vec{u}] = \left[\frac{d }{d \alpha}~f(\vec{v} + \alpha~\vec{u})\right]_{\alpha = 0} ,"> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />was ja eigentlich eher der Fußnote im Landau-Lifschitz entspricht. TomS, an was würdest du denken, wenn du <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\partial S / \partial \vec v"> liest? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich kenne <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\nabla_u f = u \cdot \nabla f"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das wirft schon wieder die nächste Frage auf. Im Wikipedia-Artikel wird das ja genau so verwendet. Ist das auch das, was allgemein darunter verstanden wird? Ich habe z.B. mal gelesen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec F_{ab} = - \nabla_{\vec{r}} \phi ( \vert \vec r_a - \vec r_b \vert ) ">, deswegen dachte ich, dass Leute einfach den Index r an den Nabla-Operator hängen, um hervorzuheben, dass in den Komponenten auch wirklich nach x,y,z und nicht nach irgendwelchen Komponenten von irgendeinem anderen Vektor abgeleitet wird (ich weiß leider nicht mehr, in welchem Buch das war, aber das zog sich konsequent durch das Buch, also man hat praktisch kein Nabla ohne Index gefunden).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Sep 2013 14:05<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Der Begriff taucht eigtl. sehr selten auf. Ich kenne <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\nabla_u f = u \cdot \nabla f"> <br /> <br />Schau auch mal hier <br /> <br /><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Directional_derivative" target="_blank">http://en.wikipedia.org/wiki/Directional_derivative</a> <br /><a href="http://mathworld.wolfram.com/DirectionalDerivative.html" target="_blank">http://mathworld.wolfram.com/DirectionalDerivative.html</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Sep 2013 13:14<span class="gen"> </span> Titel: Richtungsableitung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo! <br /> <br />Mir sind in letzter Zeit widersprüchliche Interpretation von Ausdrücken wie z.B. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial U}{\partial \vec r}"> untergekommen. Im Landau-Lifschitz Bd. 1 gibt es eine Fußnote, in der steht: "Unter der Ableitung einer skalaren Größe nach einem Vektor verstehen wir einen Vektor, dessen Komponenten gleich den Ableitungen dieser Größe nach dem entsprechenden Komponenten des Vektors sind." (S. 6) Demgegenüber steht im Bronstein folgende Definition für die Richtungsableitung: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial U}{\partial \vec n} (\vec r ) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{U (\vec r + \Delta t \vec n) - U(\vec r )}{\Delta t}"> <br />und folgerichtig <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial U(\vec r)}{\partial n} = \vec n \cdot \operatorname{grad} U">, während nach der Definition in Landaus Buch ja gelten würde <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial U}{\partial \vec n}_\text{Bronstein} = \vec n \cdot \frac{\partial U}{\partial \vec n}_\text{Landau}"> <br /> <br />Was ist denn jetzt gebräuchlicher? <br /> <br />PS: In "Mathematical Methods of Classical Mechanics" (Vladimir I. Arnol'd) wird es wie in Landaus Buch verwendet, also z.B. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec f = - \partial U / \partial \vec x">. In nicht-russischen Büchern scheint diese Schreibweise anscheinend so gut wie gar nicht verwendet zu werden, weil man lieber Nabla bzw. "grad" schreibt...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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