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Formeleditor
[quote="quiddi"]Danke jh8979 Ich glaube, das i und reduzierte planksche Wirkungsquantum hast du vernachlässigt wenn man das Ehrenfest-Theorem einsetzt. Mein Lösungsweg sieht jetzt so aus: [latex]\frac{d}{dt}\left <\begin{pmatrix} L_x\\ L_y\\ L_z \end{pmatrix}\right >=\frac{2\mu_B B_z}{\hbar}\left <\begin{pmatrix} -L_y\\ L_x\\ 0 \end{pmatrix}\right >[/latex] [latex]\frac{d}{dt}\left <\begin{pmatrix} L_x\\ L_y\\ L_z \end{pmatrix}\right >=\frac{2\mu_B B_z}{\hbar}\left < \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1& 0 & 0\\ 0&0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} L_x\\ L_y\\ L_z \end{pmatrix}\right >[/latex] Die Lösung ist [latex]\sim e^{\lambda t}[/latex] Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix: [latex]\lambda_1=i[/latex] [latex]E_1=\begin{pmatrix} i\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\lambda_2=-i[/latex] [latex]E_2=\begin{pmatrix} -i\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\lambda_3=0[/latex] [latex]E_3=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}[/latex] Daraus ergibt sich mit den Konstanten c folgende Lösung: [latex]\left <\begin{pmatrix} L_x\\ L_y\\ L_z \end{pmatrix}\right >=\frac{2\mu_B B_z}{\hbar}\left (c_1e^{it}\begin{pmatrix} i\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}+c_2e^{-it}\begin{pmatrix} -i\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}+c_3\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right )[/latex] Mit den Anfangsbedingungen ergibt sich dann: [latex]c_1=\frac{\hbar}{2}[/latex] [latex]c_2=-\frac{\hbar}{2}[/latex] [latex]c_3=0[/latex] Danke du hast mir schon mal sehr geholfen.[/quote]
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quiddi
Verfasst am: 03. Jul 2013 16:40
Titel:
Danke jh8979
Ich glaube, das i und reduzierte planksche Wirkungsquantum hast du vernachlässigt wenn man das Ehrenfest-Theorem einsetzt. Mein Lösungsweg sieht jetzt so aus:
Die Lösung ist
Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix:
Daraus ergibt sich mit den Konstanten c folgende Lösung:
Mit den Anfangsbedingungen ergibt sich dann:
Danke du hast mir schon mal sehr geholfen.
jh8979
Verfasst am: 03. Jul 2013 05:12
Titel: Re: Elektron im Magnetfeld mit Ehrenfest-Theorem
quiddi hat Folgendes geschrieben:
Daraus folt mit den Ehrenfesttheorem:
So und hier ist mein Problem.
Hier ist auch Dein Fehler
Das Ehrenfest-Theorem sagt Dir also (ich hab nicht alle Konstanten überprüft, sondern nur das wesentliche):
Das sind drei (z.T gekoppelte) DGLs für die Komponenten von
und die von Dir angegebene Funktion löst diese DGL offensichtlich nicht (aber immerhin hast Du gemerkt dass irgendetwas nicht stimmen kann, das ist auch eine sehr wichtige Fähigkeit). Aber das richtige lösen sollte nicht so schwer sein. L_z ist trivial und gekoppelte DGLs dieser Art treten in der Physik ständig auf:
EDIT: Hab die Konstanten nach der nächsten Antwort berichtig.
quiddi
Verfasst am: 02. Jul 2013 20:21
Titel: Elektron im Magnetfeld mit Ehrenfest-Theorem
Hallo zusammen,
ich wollte mal fragen ob ich folgende Aufgabe richtig angehe.
Es wird ein gebundenes Elektron mit magnetischem Moment
in ein konstantes Magnetisches Feld gegeben, mit dem Hamiltonoperator
. Ich soll nun mithilfe des Ehrenfest-Theorems
den Erwartungswert (abhängig von der Zeit) von
berechnen, mit den Anfangsbedingungen:
soll paralell zur z-Achse sein und
ist selbstverständlich der Drehimpulsoperator vektoriell für alle 3 Raumkomponenten.
Mein Ansatz:
Für den Hamiltonoperator gilt, wenn das Magentfeld nur in z-Richtung anliegt:
Für den Kommutator gilt:
Daraus folt mit den Ehrenfesttheorem:
So und hier ist mein Problem. Der Erwartungswert von
und
ist doch 0. Oder gilt das hier nicht?
2. komme ich hier nicht mit den Anfangsbedingungen klar. Wenn ich die einsetze kommt ein konstanter Wert nämlich
für den Erwartungswert des eigentlich zeitabhängigen Operators heraus