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[quote="AlgorithmusGirl"][b]Meine Frage:[/b]
Hallo Freunde der Mathematik und Physik... ich habe eine Frage zu einer Sache in einem Paper und komm einfach nicht weiter ... die eigentliche Frage ist ganz kurz ;) (also nicht erschrecken vom vielen text)

Ich habe ein ein-dimensionales Granulares Medium ( stellen wir uns gleichgroße Kügelchen vor, die in einer Kette liegen und auf beide Enden der Kette durch 2 Kräfte gespannt werden.

Sei [latex] q_n [/latex] Verschiebung von der Ruhelage des n-ten Partikels. Weiterhin definieren wir [latex] u_n=q_{n-1} - q_n [/latex]

Für die Bewegungsgleichung der Kügelchen gilt nun:

[latex] \ddot{u_n} := W'( u_{n+1}) -2W'(u_n) + W'( u_{n-1}) [/latex]  mit [latex]  W'(u)=( \delta_0 + u)^p  [/latex]  dabei ist 
[latex] n\in \mathbb{Z} [/latex]  und [latex] \delta_0 [/latex]  ist die statische Vorbelastung (precompression) und für spärische Partikel gilt: [latex] p=3/2[/latex]  .

Wir schrieben den nicht-linearen Term [latex] ( \delta_0 + u)^p [/latex]  als Reihe um:

[latex] ( \delta_0 + u)^p=( \delta_0( 1+\frac{u}{\delta_0})^p =(\delta_0)^p (  1+ \frac{u}{\delta_0} )^p =\sum\limits_{l=0}^{\infty} b_l (\delta_0,p) u^l   [/latex]

Setze ich nun alles in der Bewegungsgleichung ein, bekomme ich raus:

[latex] \ddot{u_n} := \sum\limits_{l=0}^{\infty} b_l [ u^l _{n+1} -2u^l _{n}+u^l _{n-1} ]    [/latex]

Was mich jetzt jedoch interessiert ist, wie diese Gleichung im Fourierraum aussieht also muss ich jetzt diese Gleichung fouriertransformieren und hier gibt es einen Schritt den ich nicht verstehe:

Für die Fouriertransformation gilt:

[latex]  \sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}  \sum\limits_{l=0}^{\infty} b_l [ u^l_{n+1} -2u^l _{n}+u^l _{n-1} ]e^{ikn} [/latex]

UND JETZT KOMMT DIE FRAGE!!!! Kann mir jemand den nächsten Schritt erklären:

[latex] \sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}\sum\limits_{l=0}^{\infty} b_l [ e^{ik} -2 + e^{-ik} ] u^l_n e^{ikn}  [/latex]

Kann mir bitte jemand helfen?

[b]Meine Ideen:[/b]
Es wird jetzt irgendwie [latex] u^l_n [/latex]  ausgeklammert. Und anscheinend ist [latex] u^l_{n+1} = u^l_{n}e^{ik} [/latex] und [latex] u^l_{n-1} = u^l_{n}e^{-ik} [/latex] aber wie kommt man auf sowas!? Der Grund warum ich versuche das zu verstehen ist, dass ich das ganze im 2. dim. machen muss(für eine etwas längere komplizierte Gleichung), wenn die Kügelchen im Hexagonalform sind und dieser Schritt ist sehr wichtig für mich.[/quote]

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