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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
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[quote="The_Nati"]Hallo ihr Lieben, Ich bräuchte mal eure Hilfe bei dem Beweis der Orthonormalität der Eingenfunktion des harmonischen qunatenmechanischen Oszillator. Diese sind erstmal definiert als: [latex] \phi_n (x)= \frac{1}{\sqrt{n!}} \hat{a}^\dagger \phi_0 [/latex] [latex] \phi_0 = \frac{1}{\sqrt{l \sqrt{\pi}}}e^{- \frac 12 ({\frac {x}{l}})^2} [/latex] So jetzt soll ich zeigen: [latex] <\phi_n , \phi_m> = \delta_{mn} [/latex] Wobei wir noch die Leiteroperatoren [latex] \hat{a}\ , \ \hat{a}^\dagger [/latex] mit : [latex] (\hat{a})^n \phi_n= \sqrt{n!} \phi_0 [/latex] [latex] (\hat{a}^\dagger)^n\phi_o= \sqrt{n!} \phi_n [/latex] So dann hab ich für das Skalarprodukt: [latex] <\phi_n , \phi_m> =<\frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat{a}^\dagger )^n\phi_0 , \frac{1}{\sqrt{m!}}(\hat{a}^\dagger )^m\phi_0>[/latex] [latex] = \frac{1}{\sqrt{n!}}<\phi_0, \hat{a}^n \phi_m> [/latex] So das kann ich ja in drei verschiedenen Fällen betrachten: [latex] m=n: [/latex] [latex] <\phi_n , \phi_m>= <\phi_0, \phi_0> [/latex] [latex] m < n [/latex] [latex] <\phi_n , \phi_m>=\frac{1}{\sqrt{n!}} < \phi_0 , \hat{a}^n \phi_m =\frac{1}{\sqrt{n!}} < \phi_0 , 0>=0 [/latex] [latex] m> n [/latex] [latex] <\phi_n , \phi_m>=\frac{1}{\sqrt{n!}} < \phi_0 , \hat{a}^n \phi_m =\frac{1}{\sqrt{n!}} < \phi_0 ,\sqrt{n!} \phi_{m-n}> [/latex] So und jetzt komm ich im ersten und dritten Fall nicht weiter. Für den ersten Fall müsste das Skalarprodukt ja 1 sein und für den dritten Fall 0. Nur wie komm ich darauf? ?( Über die Integraldefinition des Skalarprodukts [latex] <\phi_n(x),\phi_m(x)> = \int_{-\infty}^{\infty} dx \phi_n^* \phi_m [/latex] komme ich da irgendwie nicht weiter... Könnte mir jemande weiter helfen? :help: Vielen Dank schon mal im Vorraus! LG :dance:[/quote]
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jh8979
Verfasst am: 30. Mai 2013 22:06
Titel:
Schau Dir doch mal das Skalarprodukt hier an:
Diese Methode gilt übrigens ganz allgemein für jeden Operator mit Eigenwerten : Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind immer orthogonal zueinander. (Deswegen kommt dieser -sehr einfache- Beweis in jeder LA-Vorlesung dran.)
The_Nati
Verfasst am: 30. Mai 2013 21:49
Titel:
mmh wie war denn nochmal der Zusammenhang zwischen Energieeigenwerten und Leiteroperatoren
Ich meine klar sie herhöhen/ herniedrigen die Energie^^
Aber wie hängt das Formel mäßig nochmal zusammen?
Mir fällt jetzt nur ein, dass sich der Hamilton-operator durch die Leiteroperatoren darstellen lässt mit:
Wobei
der Operator der Quantenzahl war? (oder irgendwie sowas
...)
und da
Das steht so im Skript aber irgendwie wunder ich mich grad warum aus dem Operator aufeinmal eine Zahl wird
So das sind ja die Energieeigenwerte richtig?
Nur wie hilft mir das für die Bestimmung der Orthonormalität weiter?
Wenn ich dich richtig verstehe, dann muss ich ja jetzt irgendwie eine Beziehung zwischen den jeweiligen
zu den Energieeingewerten finden, sodass ich im Skalarprodukt dann letztendlich die Energieeigenwerte stehen habe, und dann damit argumentiren kann, dass diese orthogonal sind, richtig?
Magst du mir mal nen Tipp geben wie ich hier weiter komme?
jh8979
Verfasst am: 30. Mai 2013 17:34
Titel:
Bei 2 und 3 musst Du etwas vorsichtiger sein. Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren verschwinden nicht einfach/ "kürzen" sich nicht einfach gegeneinander weg. Für festes n sollte man es vermutlich per Induktion nach m<n machen und dann feststellen, dass die Fälle m<n und m>n durch komplexe Konjugation miteinander verbunden sind.
PS: Viel einfacher geht es, wenn man einfach benutzt/zeigt, dass Eigenzustände zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal zueinander sind (hier z.B. Energieeigenwerte).
The_Nati
Verfasst am: 30. Mai 2013 15:39
Titel:
Vielen Dank für deine Antwort
Okay mit explizit ausrechnen meinst du doch das Berechnen über das Integral, richtig?
So laut wolfram alpha krieg ich dann als Ergebnis:
Da mein
der Oszillatorlänge enspricht und somit positv ist krieg ich also
raus.
Das ist ja schon mal schön
so nun zu 3:
Stimmt das so?
jh8979
Verfasst am: 30. Mai 2013 06:01
Titel:
1 musst Du explizit nachrechnen, dass Dein Vakuumzustand korrekt normiert ist.
3 geht wie 2, nur dass dort kein a auf ein Vakuum nach rechts wirkt, sondern a^dagger auf ein Vakuum nach links.
The_Nati
Verfasst am: 29. Mai 2013 18:57
Titel: QM harmonischer Oszillator(Eigenfunktionen,Leiteroperatoren)
Hallo ihr Lieben,
Ich bräuchte mal eure Hilfe bei dem Beweis der Orthonormalität der Eingenfunktion des harmonischen qunatenmechanischen Oszillator.
Diese sind erstmal definiert als:
So jetzt soll ich zeigen:
Wobei wir noch die Leiteroperatoren
mit :
So dann hab ich für das Skalarprodukt:
So das kann ich ja in drei verschiedenen Fällen betrachten:
So und jetzt komm ich im ersten und dritten Fall nicht weiter.
Für den ersten Fall müsste das Skalarprodukt ja 1 sein und für den dritten Fall 0.
Nur wie komm ich darauf?
Über die Integraldefinition des Skalarprodukts
komme ich da irgendwie nicht weiter...
Könnte mir jemande weiter helfen?
Vielen Dank schon mal im Vorraus!
LG