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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
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[quote="Jayk"]Hallo allerseits! Im Landau/Lifschitz Band 1 steht: [quote]Wir bemerken, daß die Projektion des Drehimpulses auf irgendeine Achse (wir nennen sie die z-Achse) durch Differenzieren der Lagrange-Funktion gemäß der Formel [latex]M_z = \sum_a \frac{\partial L}{\partial \dot \phi_a}[/latex] gefunden werden kann.[/quote] EDIT: wobei phi der Winkel um die z-Achse ist. Dabei soll L die Lagrange-Funktion und [latex]\vec M[/latex] der Drehimpuls sein. Leider stehen keine Zwischenschritte da. Ich habe mal versucht, die Formel zu verifizieren (zunächst für ein Teilchen, die Verallgemeinerung ist ja trivial). Wäre schön, wenn ihr mir sagen könntet, ob das alles korrekt ist, insbesondere was den Umgang mit partiellen und totalen Ableitungen angeht... Der relevante Teil von L für die Ableitung L nach phi-punkt ist ja nur die kinetische Energie, weil die potentielle Energie ja nur von den Positionen, nicht aber von den Geschwindigkeiten abhängt. Also kann man schreiben (hoffe, das stimmt?) [latex]\frac{\partial L}{\partial \dot \phi} = \sum_i \frac{\partial L}{\partial v_i} \cdot \frac{\dd v_i}{\dd \dot \phi} = \begin{pmatrix} \partial L / \partial v_x \\ \partial L / \partial v_y \\ \partial L / \partial v_z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dd v_x / \dd \dot \phi \\ \dd v_y / \dd \dot \phi \\ \dd v_z / \dd \dot \phi \end{pmatrix} = \frac{\partial L}{\partial \vec v} \cdot \frac{\dd \vec v}{\dd \dot \phi} = \vec p \cdot \frac{\dd (\dot {\vec \phi} \times \vec r)}{\dd \dot \phi}[/latex] Die Ableitung wird zu [latex]\vec e_{\dot \phi} \times \vec r + \dot {\vec \phi} \times \dd \vec r / \dd \dot \phi = \vec e_{z} \times \vec r[/latex] und somit durch zyklische Vertauschung im Spatprodukt [latex]\frac{\partial L}{\partial \dot \phi} = \vec p \cdot (\vec e_{z} \times \vec r) = \vec e_z \cdot (\vec r \times \vec p) =: M_z[/latex][/quote]
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Namenloser324
Verfasst am: 08. Apr 2013 02:59
Titel:
Sieht gut aus und hört sich gut an!
Jayk
Verfasst am: 07. Apr 2013 19:59
Titel: Drehimpuls und Lagrange-Formalismus
Hallo allerseits!
Im Landau/Lifschitz Band 1 steht:
Zitat:
Wir bemerken, daß die Projektion des Drehimpulses auf irgendeine Achse (wir nennen sie die z-Achse) durch Differenzieren der Lagrange-Funktion gemäß der Formel
gefunden werden kann.
EDIT: wobei phi der Winkel um die z-Achse ist.
Dabei soll L die Lagrange-Funktion und
der Drehimpuls sein. Leider stehen keine Zwischenschritte da. Ich habe mal versucht, die Formel zu verifizieren (zunächst für ein Teilchen, die Verallgemeinerung ist ja trivial). Wäre schön, wenn ihr mir sagen könntet, ob das alles korrekt ist, insbesondere was den Umgang mit partiellen und totalen Ableitungen angeht...
Der relevante Teil von L für die Ableitung L nach phi-punkt ist ja nur die kinetische Energie, weil die potentielle Energie ja nur von den Positionen, nicht aber von den Geschwindigkeiten abhängt. Also kann man schreiben (hoffe, das stimmt?)
Die Ableitung wird zu
und somit durch zyklische Vertauschung im Spatprodukt