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[quote="spinator"][quote="spinator"]Ich weiß zwar nicht, wie Du darauf gekommen bist, aber es ist falsch; x ist nämlich keine extensive Variable. [/quote] Wenn ich es recht überlege ist x doch eine extensive Größe. Aber ich meine, daß die Gleichung E = ST + tx trotzdem nicht stimmt, obwohl mir im Moment nicht klar ist, woran das liegt.[/quote]
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spinator
Verfasst am: 27. Nov 2012 20:09
Titel:
TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Ich wüsste sonst nicht, wie ich diesen Hinweis hätte nutzen sollen. Eswar ja auch nicht explizit nach S(T, x) gefragt, sondern nur nach E(T, x).
Wie der Hinweis genau gemeint ist, ist mir auch nicht klar.
Jedenfalls ist der Schluß
dE = TdS + tdx => E = TS + tx
nicht richtig. Du mußt hier integrieren:
wobei T und t jeweils Funktionen von S und x sind.
Zitat:
Wieso ist x keine extensive Größe? Wenn ich x z. B. verdoppele, bleibt die Spannung ja nicht konstant, sondern ändert sich mit x. Eine extensive Größe ist nach Definition ja eine Zustandsgröße, die sich mit der Größe des betrachteten Systems ändert. Meiner Meinung nach tut x das?
Ja, ich war gestern wohl etwas abgespannt.
Das Problem ist, daß E(S,x) kein homogene Funktion ersten Grades ist:
In so einem Fall ist es nicht ganz klar, ob es überhaupt Sinn hat von extensiven Variablen zu sprechen. Die Sache klärt sich aber auf, wenn man
als zusätzliche Variable einführt.
ist homogen. Das ist auch anschaulich klar: Wenn man zwei Gummifäden aneinander klebt, vergrößert sich auch die Länge im ungespannten Zustand.
entspricht etwa der Teilchenzahl N bei einem Gas. Wenn man jetzt noch
definiert, bekommt man
. Da E homogen ist, kann man jetzt schließen, daß
. Allerdings muß man dazu erst einmal zeigen daß E homogen ist, was eine etwas längere Rechung ist.
TruEnemy
Verfasst am: 26. Nov 2012 22:41
Titel:
Zunächst vielen herzlichen Dank für Deine Hilfe!! Ich habe in meinem
letzten Poste einfach den Hinweis vom Aufgabenblatt verwendet, der
lautete, dass man die Differentiale von E(T, x) und S(T, x) vergleichen
solle. Da kam ich dann eben auf diese Entsprechung, wie erwähnt:
TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Ich habe nun einfach das Differential
mit dem allgemeinen Differential
verglichen, und kam zu der Erkenntnis, dass:
und damit
Sicherlich nicht das Gewünschte, aber was soll's.
Ich wüsste sonst nicht, wie ich diesen Hinweis hätte nutzen sollen. Es
war ja auch nicht explizit nach S(T, x) gefragt, sondern nur nach E(T, x).
Wieso ist x keine extensive Größe? Wenn ich x z. B. verdoppele, bleibt
die Spannung ja nicht konstant, sondern ändert sich mit x. Eine extensive
Größe ist nach Definition ja eine Zustandsgröße, die sich mit der Größe
des betrachteten Systems ändert. Meiner Meinung nach tut x das?
spinator
Verfasst am: 26. Nov 2012 20:52
Titel:
spinator hat Folgendes geschrieben:
Wenn ich es recht überlege ist x doch eine extensive Größe.
Blödsinn! x ist
keine
extensive Größe.
Etwas anderes wäre es, wenn man
als zusätzliche thermodynamische Variable einführte.
spinator
Verfasst am: 26. Nov 2012 19:46
Titel:
spinator hat Folgendes geschrieben:
Ich weiß zwar nicht, wie Du darauf gekommen bist, aber es ist falsch;
x ist nämlich keine extensive Variable.
Wenn ich es recht überlege ist x doch eine extensive Größe. Aber ich meine, daß die Gleichung E = ST + tx trotzdem nicht stimmt, obwohl mir im Moment nicht klar ist, woran das liegt.
spinator
Verfasst am: 26. Nov 2012 19:13
Titel:
TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Stimmt das von oben wenigstens?
Ja.
Zitat:
Das ist nur eine Seite der Maxwell-Relation. Die Maxwell-Relationen sind doch nur Anwendungen des Satzes von Schwartz. Du hast schon
.
Jetzt mußt Du noch
bestimmen.
kannst Du ebenfalls über den Satz von Schwartz berechnen.
Zitat:
Bei der Verwendung der MW-Relationen in diesem Fall habe ich aber
immer noch Kopfschmerzen: alle hängen doch immer von vier Zustands-
größen
ab.
Meistens hat man als Arbeitsdifferential -pdV. In Deinem Fall ist es aber tdx. Du hast also die Entsprechungen t <-> -p und x <-> V.
Zitat:
und damit
Ich weiß zwar nicht, wie Du darauf gekommen bist, aber es ist falsch;
x ist nämlich keine extensive Variable. Und selbst wenn es richtig wäre, würde es Dir nichts nützen, solange Du S(T,x) nicht berechnet hast.
TruEnemy
Verfasst am: 26. Nov 2012 12:31
Titel:
Ich habe nun einfach das Differential
mit dem allgemeinen Differential
verglichen, und kam zu der Erkenntnis, dass:
und damit
Sicherlich nicht das Gewünschte, aber was soll's.
TruEnemy
Verfasst am: 26. Nov 2012 00:24
Titel:
Also ich habe mich nun echt lange damit beschäftigt, und auch etwas
zur MX-Well-Relation der freien Energie im englischen Wiki gefunden
http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell_relations#Derivation
, aber ich
komme damit einfach nicht weiter. Stimmt das von oben wenigstens?
Also im englischen Wiki habe ich zu der Problematik das gefunden:
Ich weiß aber bei Gott nicht, wie mir das hier helfen kann. Ich habe
nun also Ausdrücke für
und
.
Nun fehlen mir nur noch
und
.
TruEnemy
Verfasst am: 25. Nov 2012 21:30
Titel:
Vielem Dank! Nun bekomme ich wieder Appetitt ; ) Damit habe ich nun:
Bei der Verwendung der MW-Relationen in diesem Fall habe ich aber
immer noch Kopfschmerzen: alle hängen doch immer von vier Zustands-
größen
ab. Selbst wenn ich eine davon durch
ersetze,
habe ich noch eine, die ich hier gar nicht brauche. Meinst die Allgemeine?
spinator
Verfasst am: 25. Nov 2012 20:45
Titel:
TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Die partiellen Ableitunge von E in diesem Ausdruck kennst Du ja. Damit hast du Ausdrücke für
und
gefunden.
Zitat:
MW-Relationen sind mir aber zusammen mit der freie Energie kein Begriff; kenne:
de.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Beziehung#Thermodynamik
Und welche dieser Beziehungen läßt sich jetzt anwenden??
TruEnemy
Verfasst am: 25. Nov 2012 20:12
Titel:
spinator hat Folgendes geschrieben:
Du kannst doch jede Zustandsgröße durch T und x ausdrücken, also ihr Differential durch dT und dx.
Ist das nicht das, was ich schon zuvor mal gemacht habe? Also:
Das müsste ich nun noch ausmultiplizieren und zusammenfassen.
spinator hat Folgendes geschrieben:
Die freie Energie ist nicht E sondern F(T,x) = E - TS. Die Maxwell-Relationen, und wie man sie ableitet, habt Ihr doch sicher gehabt.
Ja, habe innere mit freie verwechselt.
, richtig.
Und da
, ist
. Die T-Ab-
hängigkeit kommt davon, dass t von T abhängt. MW-Relationen
sind mir aber zusammen mit der freie Energie kein Begriff; kenne:
http://de.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Beziehung#Thermodynamik
spinator
Verfasst am: 25. Nov 2012 19:24
Titel:
TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Du sagst, ich könne dS oben in dE durch
dT und dx ersetzen. Leider wüsste ich im Moment nicht, wie ?
Du kannst doch jede Zustandsgröße durch T und x ausdrücken, also
ihr Differential durch dT und dx. Erstmal rein formal, ohne die Ableitungen weiter auszurechnen.
Zitat:
Die MW-Relation der freien Energie E ist für mich im Moment kein Begriff.
Na, komm! Die freie Energie ist nicht E sondern F(T,x) = E - TS.
Die Maxwell-Relationen, und wie man sie ableitet, habt Ihr doch sicher gehabt.
Alternative: Ihr habt doch sicher auch in der Volesung gezeigt, daß die Energie eines idealen Gases nur von der Temperatur abhängt. Sieh Dir noch mal an, wie Ihr das gemacht habt.
TruEnemy
Verfasst am: 25. Nov 2012 17:39
Titel:
Wie konnte ich das übersehen, so ein Mist! Also ... in der Tat ist
und somit
und
. Langsam verliere
ich wirklich den Überblick. Du sagst, ich könne dS oben in dE durch
dT und dx ersetzen. Leider wüsste ich im Moment nicht, wie
Nur
so kann ich den Übergang
vollziehen. Die
MW-Relation der freien Energie E ist für mich im Moment kein Begriff.
spinator
Verfasst am: 25. Nov 2012 12:52
Titel:
TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Ich habe
, woraus folgt, dass
ist.
Das stimmt nicht. Es ist
also
.
Du kannst aber oben dS formal durch dT und dx ausdrücken.
TruEnemy
Verfasst am: 25. Nov 2012 12:32
Titel:
Zunächst ein Mal vielen Dank für Deine Antwort. Diese impliziert wohl, dass
das, was ich zuletzt geschrieben habe, auch wieder falsch ist??? Ich vermute
mittlerweile, dass ich einfach zu dumm für diese Aufgabe bin. Desweiteren:
Ich habe
, woraus folgt, dass
ist. Für
habe ich ja schöne Formel oben gegeben. Ich weiß nicht, was ich da noch
berechnen soll. Die partielle Ableitung ist ja identisch
. Ich habe ja auch
keinen expliziten Ausdruck für
, so dass ich das einfach nach x ableiten
könnte. So langsam geht meine Motivation für diese Aufgabe gegen Null.
spinator
Verfasst am: 25. Nov 2012 11:59
Titel:
Berechne zuerst
unter Verwendung der Maxwell-Relation der freien Energie
TruEnemy
Verfasst am: 25. Nov 2012 10:47
Titel:
?
?
TruEnemy
Verfasst am: 23. Nov 2012 15:48
Titel:
Also, ich habe
, mit der Annahme, dass
hier irrelevant sind.
Offensichtlich ist, unter der Annahme der Korrektheit des Differentials,
eine Funktion
von
. Somit ergeben sich folgende Entsprechungen über Koeffizientenvergleich:
Gesucht ist aber nicht
, sondern
. Aus der allgemeinen Form für
kann ich im Differential oben,
,
durch den ersten Term ersetzen:
Im letzten Schritt habe ich
durch
ersetzt, da
so definiert ist. Bei
Betrachtung des umgeschriebenen Differentials habe ich nun also offensichtlich
als
Funktion von
, also mein gesuchtes
, wenn ich
integriere:
TruEnemy
Verfasst am: 22. Nov 2012 21:43
Titel:
Ich hab' zwar keinen Schimmer, was nun Dein Problem ist, aber, bevor
ich mir sowas anhören bzw. lesen muss, lass' Deine Ansatzpunkte lieber
stecken. Das Einzige, was mir bei Deiner vorangegangenen Antwort ge-
holfen hat, ist, dass ich das Differential
anschein-
end richtig angesetzt habe. Für mich sind die Sachen hier nicht wirklich
trivial, ich höre diese Vorlesung zum ersten Mal. Und zudem lasse ich
mir garantiert nicht vorwerfen, einfach eine Lösung vorgesetzt bekom-
men zu wollen, denn ansonsten könnte ich mir einfach die eines Kom-
militonen besorgen und abschreiben. Schönen Abend noch.
pressure
Verfasst am: 22. Nov 2012 21:02
Titel:
Bisher hast du nur Trivialität geschrieben. Ich hab dir einen Ansatzpunkt gegeben. Wenn du nicht bereit bist dich selber hinzusetzen und dir (auch mal länger) Gedanken zumachen, kann ich dir nicht weiterhelfen. Du hast die Aufgabe bestimmt nicht gestellt bekommen um dir die Lösung von jmd. anders geben zu lassen, da kannst du besser warten, bis die Aufgaben besprochen werden.
TruEnemy
Verfasst am: 22. Nov 2012 20:22
Titel:
pressure hat Folgendes geschrieben:
vielleicht solltest du dir nochmal anschauen, was eine Legendre-Transformation ist.
Ich hatte in dem Thread
http://www.physikerboard.de/topic,30563,-legendre-transformation.html
noch eine weitere Teil-Aufgabe, die ich aber dort nicht gestellt hatte. Man sollte aus
die freie Energie
und andere herleiten. Da sich da die Variablen ändern, und es
unter dem Stichwort Legendre-Transformation lief, dachte ich, diese wäre allgemein gut dafür,
pressure hat Folgendes geschrieben:
Wenn du
willst, dann nehme doch einfach an, dass diese Funktion existiert und ein totales Differential hat:
Jetzt bist du dran und solltest dir überlegen, was die partiellen Ableitungen sind und wie du sie berechnen kannst. Wenn du sie kennst, kannst du nämlich das totale Differential integrieren und hast
.
Wenn ich mir
anschaue, dann müsste sich aus dem Koeff.verlgeich ergeben:
Über die allgemeine Maxwell-Relation - so glaube/hoffe ich - lässt sich die erste Partielle 'umformen':
Hilft mir das weiter? Erkenne ich im Moment nicht ... muss ja auf
kommen.
pressure
Verfasst am: 22. Nov 2012 09:16
Titel:
Das totale Differential
passt. Aber nein, es gibt keine Legendre-Transformation von
zu
... vielleicht solltest du dir nochmal anschauen, was eine Legendre-Transformation ist.
Wenn du
willst, dann nehme doch einfach an, dass diese Funktion existiert und ein totales Differential hat:
Jetzt bist du dran und solltest dir überlegen, was die partiellen Ableitungen sind und wie du sie berechnen kannst. Wenn du sie kennst, kannst du nämlich das totale Differential integrieren und hast
.
TruEnemy
Verfasst am: 22. Nov 2012 08:51
Titel:
Sind meine Überlegungen denn so abwegig? Bitte um Hinweise
TruEnemy
Verfasst am: 21. Nov 2012 13:59
Titel: Thermodynamische Spannung eines Gummibandes
Hallo!
Meine Frage:
Im Gleichgewicht sei die Spannung eines Gummibandes gegen durch
: Spannung
: Absolute Temperatur
: Länge des Gummibandes mit
bei
, also
: Konstante
Desweiteren gilt für die Wärmekapazität:
Zu berechnen ist
.
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Ein Hinweis ist: Vergleichen Sie die Differentiale
und
von
und
. Der Spannungsanteil an der inneren Energie
ist
.
Der Hinweis verwirrt mich etwas, denn, um die Differentiale vergleichen zu
können, muss ich ja erst ein Mal
und
vorliegen haben.
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Mein Ansatz:
Die partiellen Ableitungen zu bilden, wird kein Problem sein. Also muss ich zu-
nächst
und
(woraus dann
folgt) bestimmen.
Ich kenne
als Funktion von
, also
, formell:
Mit dem Hinweis des Spannungsanteiles kommt nun ein weiterer Term hinzu:
Ich nehme nun einfach mal an, dass
hier keine Rolle spielen; so folgt:
Ich habe nun also
als Funktion von
, also
, brauche es
aber als Funktion von
, also
. Muss ich hier also eine Le-
gendre-Transformation
machen?