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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="pressure"]Vorweg die Rechnung von jmd ist nicht richtig, auch wenn (glücklicherweise) das korrekte Ergebnis herauskommt.
Das fängt bei den Differentialen an:

[latex]\dd E =  C_V\, \dd T + \left.\frac{\partial E}{\partial V}\right|_{T}\dd V \neq C_V \,\dd T[/latex]

[latex]\dd H =  C_p\, \dd T + \left.\frac{\partial H}{\partial p}\right|_{T}\dd p \neq C_p \,\dd T[/latex]

-----------------------------------------------

Wie man es aber rechnen kann:

[latex]\dd H  = \dd E  + p \, \dd  V + V\, \dd p[/latex]

und damit mit dem totalen Differential für E von oben

[latex]\dd H = C_V\, \dd T + \left(p + \left.\frac{\partial E}{\partial V}\right|_{T}\right)\dd V + V\, \dd p [/latex]

und deswegen

[latex]C_p = \left.\frac{\partial H}{\partial T}\right|_{p} = C_V + \left(p + \left.\frac{\partial E}{\partial V}\right|_{T}\right)  \left.\frac{\partial V}{\partial T}\right|_{p} =  C_V + \left(p + \left.\frac{\partial E}{\partial V}\right|_{T}\right) V\,\alpha_p[/latex].

Wegen

[latex]\dd E = T \,\dd S - p \, \dd V[/latex]

gilt

[latex]\left.\frac{\partial E}{\partial V}\right|_{T} =  T \left.\frac{\partial S}{\partial V}\right|_{T} - p[/latex]

und eingesetzt

[latex]C_p = C_V + V\,T \left.\frac{\partial S}{\partial V}\right|_{T}\,\alpha_p[/latex].

Nun teile ich beide Seiten durch [latex]C_V[/latex], benutze aber für den hinteren Teil [latex]C_V = T \left.\frac{\partial S}{\partial T}\right|_{V}[/latex]:

[latex]\frac{C_p}{C_V} = 1 + V \left.\frac{\partial S}{\partial V}\right|_{T} \, \left( \left.\frac{\partial S}{\partial T}\right|_{V}\right)^{-1}\,\alpha_p[/latex]

Nun schreibe ich das Produkt der partiellen Ableitungen durch Jacobi-Determinaten und benutze die zugehörigen Rechenregel:

[latex]\left.\frac{\partial S}{\partial V}\right|_{T} \, \left( \left.\frac{\partial S}{\partial T}\right|_{V}\right)^{-1} = \dfrac{\partial(S,T)}{\partial(V,T)}\, \dfrac{\partial(T,V)}{\partial(S,V)} = -  \dfrac{\partial(S,T)}{\partial(S,V)}\, \dfrac{\partial(T,V)}{\partial(T,V)} = - \dfrac{\partial(S,T)}{\partial(S,V)} =  -\left( \left.\frac{\partial V}{\partial T}\right|_{S}\right)^{-1} = -\frac{1}{V\,\alpha_S}[/latex]

und somit

[latex]\frac{C_p}{C_V} = 1 - \frac{\alpha_p}{\alpha_S}.[/latex][/quote]

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