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[quote="Xeal"]Hallo ! Ich soll folgende Aufgabe lösen: Zeige mit Hilfe der zeitabhängigen Schrödingergleichung [latex]i \hbar \partial _t \Psi(\vec{x},t) = H \Psi(\vec{x},t)[/latex], dass der für [latex]\Psi(\vec{x},t) \equiv \Psi[/latex] gebildete Erwartungswert eines mit [latex]H[/latex] vertauschbaren zeitunabhängigen Operators [latex]Q[/latex] zeitlich konstant ist: [latex][H,Q] = 0 \Rightarrow \frac{d}{dt} \left \langle \Psi | Q | \Psi \right \rangle = 0[/latex] Ich habe im Schwabl eine Herleitung der Heisenbergschen Bewegungsgleichung gefunden, die mich sehr an die Aufgabe erinnert hat. Allerdings konnte ich dort einen Schritt nicht nachvollziehen, weshalb ich mich hier melde. Hier mal mein Lösungsvorschlag: [latex][H,Q] \Psi = 0 \\ \Leftrightarrow H Q \Psi - Q H \Psi = 0 \\ \Leftrightarrow \Psi ^* H Q \Psi - \Psi ^* Q H \Psi = 0[/latex] Im folgenden Schritt habe ich H und Psi* vertauscht. Allerdings weiss ich nicht ob das zulässig ist... Kann mir da jemand weiter helfen ? [latex] \Leftrightarrow H \Psi ^* Q \Psi - \Psi ^* Q H \Psi = 0 \\ \Leftrightarrow - i \hbar (\partial _t \Psi^* Q \Psi - \Psi ^* Q\partial _t \Psi) = 0 \\ [/latex] Anwendung der Produktregel und Integration liefert den gesuchten Erwartungswert. [latex] \Leftrightarrow - i \hbar \frac{d}{dt} \left \langle \Psi |Q|\Psi \right \rangle = 0 [/latex] Außerdem wird angeboten, dass man die Aufgabe auch mittels BraKet schreibweise bearbeiten kann: [latex]i \hbar \partial_t |\Psi \rangle = H |\Psi \rangle \Rightarrow \frac{d}{dt} \left \langle \Psi | Q |\Psi \right \rangle[/latex] Damit habe ich allerdings keine Erfahrung und weiß nicht wie ich damit an die Aufgabe ran gehen soll... Grüße[/quote]
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TomS
Verfasst am: 06. Sep 2012 11:20
Titel: Re: Erwartungswert eines Operators ist Erhaltungsgröße
Xeal hat Folgendes geschrieben:
Im folgenden Schritt habe ich H und Psi* vertauscht. Allerdings weiss ich nicht ob das zulässig ist...
I.A. ist das nicht zulässig.
Psi ist Element eines Hilbertraumes, Psi* dagegen Element des zugehörigen Dualraumes (der i.A. nicht mit dem ursprünglichen Hilbertraumes identisch sein muss; Stichwort: nicht-normierbare Funktionen, rigged Hilbert spaces). D.h. H wirkt immer nur nach rechts auf Psi; seine Anwendung auf Psi* ist zunächst mathematisch nicht definiert.
Nun kann man aber immer einen adjungierten Operator konstruieren, der sich eben dadurch auszeichnet, dass er auf dem Dualraum defniert ist. Für Obeervable muss gelten, dass sie selbstadjungiert sind, d.h. das Operator und adjungierter Opoerator "übereinstimmen", was im Falle endlichdimensionaler Räume und damit endlichdimensionaler Matrizen (als Operatoren) recht einfach verstanden werrden kann, im Rahmen der Funktionalanalysis aber aufwändig bewiesen werden muss.
Wenn man dies alles voraussetzt, dann ist der Schritt von Fließbach praktisch trivial.
Vielleicht noch ein Beispiel, warum das i.A. so kompliziert ist: deine o.g. Herleitung versagt für ebene Wellen, da die Integrale für die Erwartungswerte von Impuls und Energie nicht existieren. D.h. dass für normierbare Wellenfunktionen üblicherweise kein Problem existiert, für nicht-normierbare dagegen mathematisch erheblicher Aufwand betrieben werden muss. Dies geht zwar deutlich über die Vorlesungen QM I und II hinaus und muss deswegen in einem Lehrbuch auch nicht unbedingt behandelt werden, es sollte jedoch zumindest ein Hinweis erfolgen, dass die genannten Problemfälle existieren.
Xeal
Verfasst am: 03. Sep 2012 14:04
Titel:
Danke für den Tipp. Fließbach gibt den entscheidenden Hinweis:
"Da
hermitesch ist, können wir den Term
durch
ersetzen. "
franz
Verfasst am: 03. Sep 2012 11:47
Titel:
Fließbach kap. 15 beschäftigt sich mit dieser Frage
Xeal
Verfasst am: 03. Sep 2012 08:29
Titel: Erwartungswert eines Operators ist Erhaltungsgröße
Hallo !
Ich soll folgende Aufgabe lösen: Zeige mit Hilfe der zeitabhängigen Schrödingergleichung
, dass der für
gebildete Erwartungswert eines mit
vertauschbaren zeitunabhängigen Operators
zeitlich konstant ist:
Ich habe im Schwabl eine Herleitung der Heisenbergschen Bewegungsgleichung gefunden, die mich sehr an die Aufgabe erinnert hat. Allerdings konnte ich dort einen Schritt nicht nachvollziehen, weshalb ich mich hier melde.
Hier mal mein Lösungsvorschlag:
Im folgenden Schritt habe ich H und Psi* vertauscht. Allerdings weiss ich nicht ob das zulässig ist... Kann mir da jemand weiter helfen ?
Anwendung der Produktregel und Integration liefert den gesuchten Erwartungswert.
Außerdem wird angeboten, dass man die Aufgabe auch mittels BraKet schreibweise bearbeiten kann:
Damit habe ich allerdings keine Erfahrung und weiß nicht wie ich damit an die Aufgabe ran gehen soll...
Grüße