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[quote="franz"]Hallo! Bei den Rechnungen zu einem anderen Thema stieß ich auf eine Merkwürdigkeit, zu der ich gern Eure Meinung einholen möchte. Es geht um ein sphärisches Pendel (Massepunkt an einem starrem Faden im Schwerefeld), das sich ausschließlich auf einem Kreis bewegen soll (rotierend um die Senkrechte), siehe Skizze. R sei die feste Länge (Kugelradius), r der Abstand zur Senkrechten, [latex]\omega = \dot \varphi [/latex] die konstante Winkelgeschwindigkeit, EDIT a_r die Radialbeschleunigung und g, Überraschung, die Fallbeschleunigung. Frage: Welcher Abstand [latex]r(\omega)[/latex] stellt sich bei vorgegebener Länge und Winkelgeschwindigkeit ein? Ansatz: [latex]sin \Theta =\frac{a_r}{\sqrt{a_r^2+g^2}}=\frac{r}{R};\ a_r = r \omega ^2\Rightarrow r(\omega)=\sqrt{R^2 - \frac{g^2}{\omega^4}}[/latex] Und jetzt das Problem: Es gibt bei der, an sich willkürlichen Kreisfrequenz, gegen null hin einen Minimalwert(!)[latex] r=0 \rightarrow \omega (0)=\sqrt{\frac{g}{R}}[/latex] der einem merkwürdig bekannt vorkommt. Meine Interpretation: Wenn der Körper sich in der Senkrechten befindet, dann führt jede kleine Bewegung zu einer (ungewollten) ebenen Pendelschwingung. Die gewünschte Kreisbewegung funktioniert nur oberhalb [latex]\omega(0)[/latex]. Oder? Danke![/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>franz</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Aug 2012 06:32<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke GvC, für die schöne Darstellung des sphärischen Pendels! <br /> <br />OT Bei mir hatte sich dieser Zusammenhang erst langsam herausgeschält, weil ich ständig auf nichtlösbare Rechnungen stieß, auch bei Änderungen der Werte und des Sachverhalts, und ich deshalb nach einem komplett neuem Ansatz suchte. (Auf die allgemeine Integration der Bewegungsgleichungen geht übrigens auch Landau / Lifschitz I § 14 in gewohnter Kürze ein.) <br /> <br />mfG</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>GvC</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 15. Aug 2012 23:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>franz hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die gewünschte Kreisbewegung funktioniert nur oberhalb <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega(0)">. Oder? </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das ist richtig. Für Winkelgeschwindigkeiten <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega\leq \sqrt{\frac{g}{R}}"> ist der Öffnungswinkel des durch die Kreispendelbewegung beschriebenen Kegels stabil 0°, wie beispielsweise hier vorgerechnet wird: <br /> <br /><a href="http://www.adonges.de/attachments/File/publikationen/Kreispendel.pdf" target="_blank">http://www.adonges.de/attachments/File/publikationen/Kreispendel.pdf</a> <br /> <br />Aus diesem Grunde ist das in dem von Dir erwähnten anderen Thread beschriebene Szenario von Vornherein unsinnig.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>franz</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 15. Aug 2012 22:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke <span style="font-weight: bold">para</span> für diese Zusammenstellung! <br /> <br />Um es nochmal zu betonen: Meine Frage ist zwar aus einer andreren Diskussion hervorgegangen, ich möchte sie aber gern davon völlig unabhängig / isoliert betrachten (auch deshalb, weil mir der dortige Sachverhalt noch unzureichend geklärt erscheint). <br /> <br />mfG</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>para</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 15. Aug 2012 21:35<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Leider ist es nicht möglich, Beiträge an andere Threads anzuhängen. Daher zwei Beiträge die im falschen Thread gelandet sind als Zitat: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Packo (Gast, 15.8., 20:18) hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Was bedeutet <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega">(0) ? <br />Sollte dies vielleicht <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega = 0 "> heißen ? <br /> <br />Was ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_r"> ?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>franz (15.8., 20:39) hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Lieber Gast! <br /> <br />Deine Frage zielt vermutlich <a href="http://www.physikerboard.de/ptopic,172387.html#172387" target="_blank" class="postlink">darauf</a>, was ich gern ergänzt habe: a_r ist die Radialbeschleunigung und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega (0)"> entsprechend dem gesuchten <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega (r)"> die Winkelgeschwindigkjeit für r = 0. Ansonsten freue ich mich über weitere Hinweise. <br /> <br />mfG</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die originalen Beiträge finden sich <a href="http://www.physikerboard.de/ptopic,172389.html#172389" target="_blank" class="postlink">hier</a> (im geschützten Bereich).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>franz</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 15. Aug 2012 18:38<span class="gen"> </span> Titel: sphärisches Pendel</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo! <br /> <br />Bei den Rechnungen zu einem anderen Thema stieß ich auf eine Merkwürdigkeit, zu der ich gern Eure Meinung einholen möchte. <br /> <br />Es geht um ein sphärisches Pendel (Massepunkt an einem starrem Faden im Schwerefeld), das sich ausschließlich auf einem Kreis bewegen soll (rotierend um die Senkrechte), siehe Skizze. R sei die feste Länge (Kugelradius), r der Abstand zur Senkrechten, <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega = \dot \varphi "> die konstante Winkelgeschwindigkeit, EDIT a_r die Radialbeschleunigung und g, Überraschung, die Fallbeschleunigung. <br /> <br />Frage: Welcher Abstand <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r(\omega)"> stellt sich bei vorgegebener Länge und Winkelgeschwindigkeit ein? <br /> <br />Ansatz: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?sin \Theta =\frac{a_r}{\sqrt{a_r^2+g^2}}=\frac{r}{R};\ a_r = r \omega ^2\Rightarrow r(\omega)=\sqrt{R^2 - \frac{g^2}{\omega^4}}"> <br /> <br />Und jetzt das Problem: Es gibt bei der, an sich willkürlichen Kreisfrequenz, gegen null hin einen Minimalwert(!)<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? r=0 \rightarrow \omega (0)=\sqrt{\frac{g}{R}}"> der einem merkwürdig bekannt vorkommt. <br />Meine Interpretation: Wenn der Körper sich in der Senkrechten befindet, dann führt jede kleine Bewegung zu einer (ungewollten) ebenen Pendelschwingung. Die gewünschte Kreisbewegung funktioniert nur oberhalb <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega(0)">. Oder? <br /> <br />Danke!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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