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[quote="Xeal"]Hallo ! Ich soll von zwei Wellenfunktionen zeigen, dass sie orthogonal sind. Die Wellenfunktionen lauten: [latex]\Psi(x) = N_1 \cdot \exp{(-ax^2)}[/latex] [latex]\varphi(x) = N_2 \cdot x \cdot \exp{(-ax^2)}[/latex] Mit einer Konstanten a. Ich muss dazu ja das folgende Integral lösen: [latex]\int \varphi^* \Psi \mathrm{d x} = N_0 N_1 \int x \cdot \exp{(-2ax^2)}[/latex] Jetzt meine Frage: Ist das Integral als Integral über den gesamten Raum von - undendlich bis + unendlich zu verstehen ? Ich konnte in diversen Büchern darüber keine Aussage finden..[/quote]
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Xeal
Verfasst am: 06. Aug 2012 14:30
Titel:
Danke !
TomS
Verfasst am: 06. Aug 2012 11:59
Titel: Re: Orthogonale Funktionen
Es handelt sich immer um ein bestimmtes Integral, also
Bei einem Funktionenraum (Hilbertraum) sowie einem Skalarprodukt muss immer angegeben werden, um welchen Raum es sich handelt, also z.B. L²[a,b], dem Hilbertraum quadratintegrierbarer Funktionen über dem Intervall [a,b]. Wenn diese Angabe fehlt, dann taugt die Aufgabenstellung bzw. das Buch oder Skript nichts (da unpräzise).
In vorliegenden Fall kann man vermuten, dass es sich um den Hilbertraum L²[-∞,+∞] handelt, denn die Hermitefunktionen (die mit exp(-ax²) multiplizierten Hermitepolynome) bilden auf diesem Raum ein orthogonales Funktionensystem.
D.h. es handelt sich dann um das Integral
und das ist nach der o.g. Aussage Null.
Uriezzo
Verfasst am: 06. Aug 2012 11:57
Titel:
Ja, ist es.
franz
Verfasst am: 06. Aug 2012 11:39
Titel:
Hinweis: Das Produkt ist eine ungerade Funktion. Integral vermutlich über den gesamten Definitionsbereich.
Xeal
Verfasst am: 06. Aug 2012 11:25
Titel: Orthogonale Funktionen
Hallo !
Ich soll von zwei Wellenfunktionen zeigen, dass sie orthogonal sind.
Die Wellenfunktionen lauten:
Mit einer Konstanten a.
Ich muss dazu ja das folgende Integral lösen:
Jetzt meine Frage:
Ist das Integral als Integral über den gesamten Raum von - undendlich bis + unendlich zu verstehen ?
Ich konnte in diversen Büchern darüber keine Aussage finden..