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[quote="JonnybeGooD"]Hey ich beschäftige mich auch gerade mit dem Trägheitsmoment des Ellipsoiden und Die Diskussion hier hat mir schon sehr weitergeholfen. Ich frag mich jetzt nur wie man das Trägheitsmoment jetzt auch für die Rotation um die x und die y achse berechnet. Mein Problem dabei ist es den Abstand zwischen dem Punkt und der jeweiligen Achse zu bestimmen. Ich dachte mir dabei dass dieser gegeben ist durch [latex] r\sqrt{(\sin (\theta))^2(\sin(\phi))^2 + (\cos(\theta))^2} [/latex] für den Abstand zur x Achse. dann wird das Integral zu: [latex] I = \int_0^1 \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} r^4(\sin(\theta))^3(\sin(\phi)^2+\sin(\theta)(\cos(\phi))^2(b^2*\sin(phi)+c^2\cos(phi)) dr d\theta d\phi [/latex] Was nun ziemlich kompliziert ist und ich komme auf [latex] \frac{m}{4} \cdot \frac{1}{5} (\frac{7}{8}b^2+c^2+\frac{\pi}{8}b^2) [/latex] was offensichtlich nicht stimmt. kann mir da einer helfen?[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Men of steel</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Jun 2016 17:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Warum wird eigentlich in Kugelkoordinaten integriert? Hier muss man in den Koordinaten eines Ellipsoiden Integrieren. Das heißt man muss das Integral transformieren und die Determinante der Jacobi-Matrix berechnen und dann in das Integral schreiben. Dann wird integriert in den Grenzen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Jul 2012 07:04<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Es ist sinnvoll, bei der Berechnung die Rotationsachse gleich der z-Achse zu wählen, da so die Winkelabhängigkeit einfacher wird. Das Koordinatensystem und damit die Wahl der z-Achse ist ja nur Konvention</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>JonnybeGooD</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Jul 2012 01:45<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hey ich beschäftige mich auch gerade mit dem Trägheitsmoment des Ellipsoiden und Die Diskussion hier hat mir schon sehr weitergeholfen. <br /> <br />Ich frag mich jetzt nur wie man das Trägheitsmoment jetzt auch für die Rotation um die x und die y achse berechnet. <br />Mein Problem dabei ist es den Abstand zwischen dem Punkt und der jeweiligen Achse zu bestimmen. Ich dachte mir dabei dass dieser gegeben ist durch <br /> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? r\sqrt{(\sin (\theta))^2(\sin(\phi))^2 + (\cos(\theta))^2} "> für den Abstand zur x Achse. <br /> <br />dann wird das Integral zu: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? I = \int_0^1 \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} r^4(\sin(\theta))^3(\sin(\phi)^2+\sin(\theta)(\cos(\phi))^2(b^2*\sin(phi)+c^2\cos(phi)) dr d\theta d\phi "> <br /> <br />Was nun ziemlich kompliziert ist und ich komme auf <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{m}{4} \cdot \frac{1}{5} (\frac{7}{8}b^2+c^2+\frac{\pi}{8}b^2) "> was offensichtlich nicht stimmt. kann mir da einer helfen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Jun 2012 15:42<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">OK, klar</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Rmn</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Jun 2012 11:38<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich verstehe das <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>volley hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int\limits^{1}_{0} R^{4} \, dR "></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />nicht. <br /> <br />Unter dem Integral steht zunächst ein <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x^2 + y^2"> <br /> <br />was du auch richtig betrachtest, sowie in Kugelkoordinaten ein <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int\limits^{1}_{0} R^{2} \, dR "></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Es ist <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? I_{S} = \rho \cdot \int_V \! r_\perp^{2} \, \dd V"> <br />mit <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r_\perp = r\sin\theta"> <br />Zusätzlich noch <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r^2"> von dem Volumenelement in Kugelkoordinaten.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Jun 2012 08:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich verstehe das <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>volley hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int\limits^{1}_{0} R^{4} \, dR "></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />nicht. <br /> <br />Unter dem Integral steht zunächst ein <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x^2 + y^2"> <br /> <br />was du auch richtig betrachtest, sowie in Kugelkoordinaten ein <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int\limits^{1}_{0} R^{2} \, dR "></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>volley</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Jun 2012 19:13<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Stimmt die beiden sind ja nicht gleich. <br />Für R gleich dem Kugelradius ergibt sich das korrigierte Integral: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? I_{S} = \rho abc \int\limits^{1}_{0} R^{4} \, dR \int\limits^{\pi}_{0} (sin\theta)^{3} \, d\theta \int\limits^{2\pi}_{0} (a cos\phi)^{2} + (b sin\phi)^{2} \, d\phi "> <br /> <br />Dankeschön</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Rmn</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Jun 2012 16:00<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">r^2 in deiner Formel sollte der Abstand von der Drehachse sein. Es ist nicht daselbe, wie r in Kugelkoordinaten, welches Abstand vom Ursprung darstellt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>volley</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Jun 2012 15:32<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke Leute! <br />Also wenn ich die Substitution vornehme steht erstmal folgendes: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? I_{S}= \rho abc \iiint ((ax`)^{2} +(by`)^{2}) dx`dy`dz`"> <br /> <br />Den Term unterm Integral formuliere ich um zu: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? (ax`)^{2} + (bx`)^{2} = r^{2} ((a cos\phi)^{2} + (b sin\phi)^{2}) "> <br /> <br />und nehme das Volumenelement der Kugel: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? dV = r^{2} sin\theta dr d\theta d\phi "> <br /> <br />Dann komme ich insgesamt auf folgendes Integral: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? I_{S} = \rho abc \int\limits^{1}_{0} r^{4} \, dr \int\limits^{\pi}_{0} sin\theta \, d\theta \int\limits^{2\pi}_{0} (a cos\phi)^{2} + (b sin\phi)^{2} \, d\phi "> <br /> <br />Wenn ich das Integral ausrechne komme ich auf <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? I_{S} = \rho abc \frac{2}{5} r^{5} \pi (a^{2} + b^{2}) "> <br /> <br />Kann mir jemand sagen wo mein Fehler ist?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Jun 2012 15:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">genau; siehe hier: <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_moment_of_inertia_tensors" target="_blank">http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_moment_of_inertia_tensors</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>ClickBox</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Jun 2012 15:25<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Wenn der Ellipsoid so definiert ist wie TomS geschrieben hat, solltest du auf folgendes Ergebnis kommen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?J = \frac{4}{15} \varrho \pi abc (a^2 + b^2) "></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Jun 2012 08:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich gehe davon aus, dass dein Ellipsoid definiert ist durch <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1"> <br /> <br />Du kannst zunächst das Volumen des Ellipsoids mittels <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x^\prime = \frac{x}{a};\;y^\prime = \frac{y}{b};\;z^\prime = \frac{z}{a}"> <br /> <br />in eine Einheitskugel mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{x^\prime}^2+{y^\prime}^2+{z^\prime}^2=1"> <br /> <br />(mit inhomogener Massenverteilung) transformieren. Das Integral sollte in Kugelkoordinaten lösbar sein.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>franz</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Jun 2012 01:03<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Es fehlt meines Erachtens eine Information zum Ellipsoid selber ... <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>volley</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Jun 2012 19:50<span class="gen"> </span> Titel: Trägheitsmoment eines Ellipsoids</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br />Ich soll das Trägheitsmoment eines homogenen Ellipsoids berechnen <br />Drehachse ist die z-Achse. <br /> <br />Die Formel ist klar: <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? I_{S} = \rho \cdot \int_V \! r^{2} \, \dd V"> <br /> <br />Mein Problem ist: Ich weiss nicht wie ich den Absdand bzw. das Volumen darstellen soll. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span> <br />Ich denke am einfachsten wäre es in Zylinderkoordinaten. <br />Hier würde für das Volumenelement gelten:<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? dV = r dr d\phi dz "></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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