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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
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Formeleditor
[quote="Rmn"]Ja, ich sehe jetzt, dass es stimmt, nur ungewöhnlich abgezählt. Um zu sehen, warum es so ist, muss man einfach einige Terme aufschreiben. Führen wir eine Abkürzung [latex] X_{ij}=\frac{q_i q_j}{|r_i-r_j|} [/latex] und schauen wir uns erstmal die linke Summe an [latex]\sum\limits_{i=1}^{N-1} \sum\limits_{j=i+1}^{N} X_{ij}[/latex] für N=3 haben wir dann folgende Terme [latex] X_{12}+X_{13}+X_{23} [/latex] Entsprechend für die rechte Summe [latex]\sum\limits_{i=1}^{N} \sum\limits_{j=1\neq i}^{N}[/latex] haben wir folgende Terme [latex]X_{12}+X_{13}+X_{23} + X_{21}+X_{31}+X_{32}[/latex] nun gilt offensichtlich [latex]X_{ij} = X_{ji}[/latex] womit die zweite Summe dann zu [latex]2(X_{12}+X_{13}+X_{23})[/latex] wird. Das ist jedoch genau das doppelte der ersten Summe. Die Struktur kannst du in Form von Tabellen im Anhang sehen. (oben linke Summe, unten rechte Summe)[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>McClane</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Jun 2012 10:54<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke für die Hilfe <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Jun 2012 10:53<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">eigtl. sind sie überflüssig; grad*phi ist ein Vektor, daher ist das Betragsquadrat natürlich einfach das Quadrat des Vektors; du könntest statt dessen auch Klammern schreiben</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>McClane</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Jun 2012 10:42<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ok stimmt. Trotzdem verstehe ich die Betragsstriche nicht ganz. Sind die nicht überflüssig?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Jun 2012 10:38<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Deine partielle Integration stimmt nicht; es gilt statt dessen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int \! \phi \, \triangle\phi \, \dd^3 r \Rightarrow \int \! | \nabla\phi|^2 \, \dd^3 r "> <br /> <br />denn es ist ja <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\triangle = \nabla^2"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>McClane</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Jun 2012 10:25<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Vielen Dank für die Antwort. Soweit habe ich das verstanden. In der weiteren Behandlung des elektrostatischen Potentials hat sich jedoch ein weiteres Problem für mich ergeben: <br /> <br /> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U= \frac{1}{8 \pi} \cdot \int \! ( \triangle \phi (\vec{r}) ) \cdot \phi (\vec{r}) \, \dd^3 r = \frac{1}{8 \pi} \cdot \int \! | \triangle \phi (\vec{r}) |^2 \, \dd^3 r = \frac{1}{8 \pi} \cdot \int \! | E (\vec{r}) |^2 \, \dd^3 r "> <br /> <br />Mich wundert der Schritt, um auf den zweiten Teil zu kommen, da die partielle Integration bei mir noch einen Term vor dem Integral ergibt. Woher kommen die Betragsstriche?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Jun 2012 09:25<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Noch einsichtiger ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum\limits_{<ij>}^{N} "> <br /> <br /><ij> bedeutet, dass über Paare von Indizes genau einmal summiert werden soll, dass also <12> und <21> nicht doppelt gezählt werden, und dass Diagonaleinträge wie <11> nicht beitragen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>pressure</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Jun 2012 09:20<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Oder in Kurzschreibweise: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \sum\limits_{i=1}^{N-1} \sum\limits_{j=i+1}^{N} = \sum\limits_{i} \sum\limits_{j > i} "> <br /> <br />Das ist meiner Meinung so ein bisschen einsichtiger, weil auf das Wesentliche verkürzt. Mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?j > i"> vermeidet man, dass jeder Term aufgrund der Symmetrie doppelt auftritt, wie es rechts der Fall ist. Daher der Faktor 2.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Rmn</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Jun 2012 23:30<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja, ich sehe jetzt, dass es stimmt, nur ungewöhnlich abgezählt. <br />Um zu sehen, warum es so ist, muss man einfach einige Terme aufschreiben. Führen wir eine Abkürzung <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />X_{ij}=\frac{q_i q_j}{|r_i-r_j|} <br />"> <br />und schauen wir uns erstmal die linke Summe an <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum\limits_{i=1}^{N-1} \sum\limits_{j=i+1}^{N} X_{ij}"> <br />für N=3 haben wir dann folgende Terme <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />X_{12}+X_{13}+X_{23} <br />"> <br /> <br />Entsprechend für die rechte Summe <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum\limits_{i=1}^{N} \sum\limits_{j=1\neq i}^{N}"> <br />haben wir folgende Terme <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?X_{12}+X_{13}+X_{23} + X_{21}+X_{31}+X_{32}"> <br />nun gilt offensichtlich <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?X_{ij} = X_{ji}"> <br />womit die zweite Summe dann zu <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2(X_{12}+X_{13}+X_{23})"> <br />wird. Das ist jedoch genau das doppelte der ersten Summe. <br /> <br />Die Struktur kannst du in Form von Tabellen im Anhang sehen. (oben linke Summe, unten rechte Summe)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>McClane</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Jun 2012 22:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Das steht bei uns genauso im Skript der Vorlesung.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Rmn</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Jun 2012 22:07<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Das stimmt so nicht auf der linken Seite. Da muss die obere Grenze einer Summe gleich dem Index der andere Summe sein.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>McClane</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Jun 2012 21:27<span class="gen"> </span> Titel: Elektrostatische Energie</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br />ich verstehe folgende Umformung nicht ganz. Vor allem woher auf einmal das 1/2 herkommt. Vielleicht kann jemand helfen. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U= \sum\limits_{i=1}^{N-1} \sum\limits_{j=i+1}^{N} \frac{q_{i} \cdot q_{j}}{|r_{i} - r_{j}|} = \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{N} \sum\limits_{j=1\neq i}^{N} \frac{q_{i} \cdot q_{j}}{|r_{i} - r_{j}|}"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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