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So gehts:
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[quote="TomS"]Ich rechne das mal für die einzelnen Operatoren vor [latex]\langle l\,m|L_z|l\,m\rangle = \langle l\,m|m|l\,m\rangle = m \langle l\,m|l\,m\rangle = m[/latex] [latex]\langle l\,m|L_\pm|l\,m\rangle = \langle l\,m|\sqrt{l(l+1)-m(m\pm m)}|l\,m\pm 1\rangle = \sqrt{l(l+1)-m(m\pm m)}\,\langle l\,m|l\,m\pm 1\rangle = \ldots \delta_{m,\,m\pm 1} = 0[/latex] D.h. die Auf- und Absteiger haben verschwindenden Erwartungswert für Eigenzustände bzgl. der z-Komponente. Wenn du also den Erwartungswert für die x- oder y-Komponenten des Drehimpulses in einem Eigenzustand bzgl. der z-Komponente berechnest, lautet das Ergebnis Null.[/quote]
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TomS
Verfasst am: 25. Jun 2012 21:37
Titel:
Ich rechne das mal für die einzelnen Operatoren vor
D.h. die Auf- und Absteiger haben verschwindenden Erwartungswert für Eigenzustände bzgl. der z-Komponente.
Wenn du also den Erwartungswert für die x- oder y-Komponenten des Drehimpulses in einem Eigenzustand bzgl. der z-Komponente berechnest, lautet das Ergebnis Null.
QM_Gast
Verfasst am: 25. Jun 2012 18:19
Titel:
=
So, so weit komme ich bisher. Jetzt stellt sich noch die Frage wie man den Ausdruck:
umschreiben kann.
QM_Gast
Verfasst am: 25. Jun 2012 17:55
Titel:
Für die x-Komponente:
Für die y-Komponente:
Soll man das jetzt wie ein LGS lösen? Also Zustand |lm> anwenden in Zeile 1. Dann L_x in Zeile 2 einsetzen. Dann nach L_y auflösen?
TomS
Verfasst am: 25. Jun 2012 17:43
Titel:
Gegeben sind die Auf- und Absteiger ausgedrückt durch die x- und y-Komponenten; jetzt drücke doch einfach umgekehrt die x- und y-Komponenten durch die Auf- und Absteiger aus!
QM_Fragen
Verfasst am: 25. Jun 2012 17:29
Titel:
Irgendetwas blicke ich da immer noch nicht.
x-Komponente:
y-Komponente:
Mittels Auf- und Absteiger umschreiben:
Daraus folgt dann:
Oder nicht soweit in Ordnung?
Und <L_z> wäre wie gesagt: <lm|L_z|lm> = h m.
TomS
Verfasst am: 25. Jun 2012 17:04
Titel:
OK, damit benötigst du die oben angesprochenn Eigenzustände zu i=1,2 nicht!
Die Rechnung ist ganz einfach:
z) den Erwartungswert bzgl. der z-Komponente kannst du direkt ausrechnen, da ja Eigenzustände bzgl. dieser Komponenten vorliegen
x+y) dafür schreibst du zunächst die x- und y-Komponenten des Drehimpulsoperators mittels der beiden Auf- und Absteiger um, denn deren Wirkung auf die Eigenzustände kennst du
QM_Gast
Verfasst am: 25. Jun 2012 16:52
Titel:
Aufgabe im Originalwortlaut:
und
besitzen gemeinsame Eigenzustände |lm>. Es gilt:
|lm> =
l(l+1)|lm>
=
m|lm>
Außerdem gilt:
|lm> =
|lm
1>
Wie lautet:
<lm|
|lm>
TomS
Verfasst am: 25. Jun 2012 16:41
Titel:
was ist dein |lm>? so wie du es jetzt schreibst ist es |lm> bzgl. L³, in deinem vorigen Post wolltest du aber auf allgemeine Eigenzustände bzgl. verschiedener Drehimpulskomponenten hinaus.
QM_Gast
Verfasst am: 25. Jun 2012 16:05
Titel:
Alle bzgl.
Die Leiteroperatoren
und
stehen mir auch zur Verfügung. Aber irgendwie sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht.
TomS
Verfasst am: 25. Jun 2012 15:59
Titel:
Bzgl. welches Zustandes sollst du denn die Erwartungswerte berechnen?
QM_Gast
Verfasst am: 25. Jun 2012 15:45
Titel:
Hm, vielleicht ist das jetzt auch zu einfach (ist auch nur eine 1-Punkte-Aufgabe), aber irgendwie sehe ich immer noch nicht, wie ich die Erwartungswerte daraus berechnen kann für
.
TomS
Verfasst am: 25. Jun 2012 15:12
Titel:
Alle Drehimpulsoperatoren haben das selbe Spektrum, d.h. die selben Eigenwerte mit l(l+1) sowie m=-l, -l+1, ..., +,l aber die Eigenzustände sind natürlich verschieden.
Du schreibst also besser
wobei das (i) anzeigt, dass die Basis bzgl. der i-ten Komponente des Drehimpulsoperators definiert ist.
QM_Gast
Verfasst am: 25. Jun 2012 14:17
Titel:
Ok. Dann hätte ich noch eine Frage. Wenn ich weiß, dass gilt:
, wobei hier der Drehimpulsoperator (und seine Komponenten) gemeint ist. Also dass
und
(ich lasse das Dach für "Operator-Zeichen" mal weg) gemeinsame Eigenzustände
besitzen. Und wenn weiterhin die Eigenwertgleichung gilt:
Dann weiß ich doch, dass auch gilt:
Zumindest wenn die Eigenzustände orthonormiert sind (steht in der Aufgabenstellung nichts zu, kann man davon im Regelfall ausgehen?).
Wie berechnet man denn dann jetzt entsprechend
und
? Haben die nicht auch die exakt selben Eigenzustände |lm> und somit den gleichen Erwartungswert?!
Danke nochmal im Voraus.
TomS
Verfasst am: 25. Jun 2012 11:57
Titel:
ja, so verstehe ich das
QM_Gast
Verfasst am: 25. Jun 2012 10:49
Titel: Erwartungswert berechnen
Uuuuund zwar Folgendes. Gegeben sei der Rotationsoperator um die x-Achse:
Mit
Wobei
die Spinmatrix bzgl. x-Achse bezeichnet.
habe ich bereits in Matrixform aufgeschrieben. Sieht dann so aus:
Jetzt ist Folgendes gefragt:
Der Zustand
werde um den Winkel
gedreht:
Wie lauten die Erwartungswerte von
und
als Funktion von
?
Frage: Wie habe ich die Aufgabe jetzt genau zu verstehen? Soll ich die Erwartungswerte von
im gedrehten Zustand
berechnen, also:
Ist das alles?