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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
Latex-Kurzbeschreibung
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Formeleditor
[quote="TomS"]Der Ausgangspunkt war folgende Aussage: [i]Der Erwartungswert einer Observablen muss reell sein.[/i] Eine Observable entspricht aber einem selbstadjungierten Operator. [i]Der Impulsoperator ist aber auf dem Intervall [0,∞[ nicht selbstadjungiert![/i] [u]Beweis[/u] Setze [latex]u_p(x) = e^{ipx}[/latex] Dann ist [latex](-i\partial_x)\,u_p(x) = p\,u_p(x)[/latex] und somit liegt eine Eigenfunktion zum Impulsoperator mit Eigenwert p vor. Nun setzen wir p = i|k|. Damit ist [latex]u_{i|k|}(x) = e^{-|k|x} [/latex] offensichtliche eine Eigenfunktion zum imaginären Eigenwert i|k|. Außerdem ist diese Funktion sicherlich quadratintegrierbar und damit Element des Hilbertraums L²[0,∞[. Wir haben also einen Widerspruch zum reellwertigen Spektrum eines selbstadjungierten Operators konstruiert; somit kann der Impulsoperator auf dem o.g. Intervall nicht selbstadjungiert sein. ■ Und damit ist die o.g. Aussage [i]Der Erwartungswert einer Observablen muss reell sein[/i] auf den hier vorliegenden Fall evtl. gar nicht anwendbar - d.h. man muss die Rechnung explizit durchführen! Übrigens kann man sich im Falle reellwertiger Funktionen folgenden Sachverhalt zu Nutze machen [latex]\int_a^b dx\,\psi^\ast \,\partial_x\, \psi = \int_a^b dx\,\psi \,\partial_x\, \psi = \int_a^b dx\,\frac{1}{2}\,\partial_x\, \psi^2 = \frac{1}{2}\left.\psi^2\right|_a^b[/latex] Damit sieht man sofort, warum im o.g. der Impulsoperator nicht selbstadjungiert ist (besser, da es sich um ein Matrixelement handelt: warum er nicht einmal symmetrisch ist): die Randterme bei x=a und x=b können die Symmetrie bzw. Selbstadjungiertheit zerstören. Falls b gegen Unendlich geht muss die Wellenfunktion bei x=b verschwinden (auch das ist eigtl. eine 'Physiker-Argumentation' und man kann Gegenbeispiele finden ...). Aber wenn wie im vorliegenden Fall a einen endlichen Wert hat, dann muss dafür nicht zwingend die Randbedingung vorliegen, dass die Wellenfunktion bei x=a verschwindet. Einen Knoten bei x=a erhält man für die eingespannte Saite d.h. das Teilchen im unendlich hohen Potentialtopf. Im hier vorliegenden Fall liegt zufälligerweise ebenfalls eine Wellenfunktion vor, die dieser Randbedingung genügt, aber es ist nicht ersichtlich, dass nicht auch das von mir konstruierte Gegenbeispiel exp(-|k|x) zulässig wäre. Generell gilt, dass die Eigenschaft, ob ein Operator selbstadjungiert ist, nicht nur vom Operator selbst bestimmt wird, sondern dass der Hilbertraum, hier L²[a,b] inkl. der Randbedingungen, also des Definitionsbereiches des Operators, eine entscheidende Rolle spielt.[/quote]
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TruEnemy
Verfasst am: 13. Jun 2012 17:25
Titel:
Nichts, tut mir Leid. Ich vergaß es in der Übungsgruppe anzusprechen ^^
Ich hatte mich da eher über andere Fehler geärgert. Nun ist's auch egal.
Gas140
Verfasst am: 13. Jun 2012 13:38
Titel:
Hallo,
was ist dabei rausgekommen?
Grüße
TruEnemy
Verfasst am: 22. Mai 2012 20:41
Titel:
Passt schon. Falls ich es nicht vergesse, werde ich berichten
Gas140
Verfasst am: 22. Mai 2012 10:54
Titel:
Hallo,
sollte nicht ausfallend werden, Sorry wenns so rüberkam
Wäre schon wenn du danach nochmal berichtest
Viele Grüße
TruEnemy
Verfasst am: 22. Mai 2012 09:07
Titel:
Dass Du mich nicht verstehst, ist OK, aber das ist kein Grund im Ton leicht
ausfallend zu werden
Es ist nun auch nicht mehr wichtig, ich bespreche es
mit meinem Tutor
Gas140
Verfasst am: 22. Mai 2012 08:17
Titel:
Hallo,
Natürlich ergeben sich zwei unterschiedliche Terme, da im Hinweis nunmal nach s integriert wird, bei uns wird nach k integriert, also haben wir im Hinweis s mit k zu ersetzen, verstehe ehrlich gesagt dein Problem nicht ganz
Viele Grüße
Ps.: Vorlesung geht jetzt los;)
TruEnemy
Verfasst am: 21. Mai 2012 21:26
Titel:
Es ergeben sich doch aber zwei völlig verschiedene Terme,
und zwar je nachdem, was in dem Hinweis mit
und was
mit
identifiziert wird. Interessant ist allerdings, dass beide
Terme, sofern gewisse Näherungen gemacht werden, als
Ergebnis Null liefern. Ich habe beide Wege aufgeschrieben,
und da heute Abgabe war und es am Freitag in der Übungs-
gruppe besprochen wird, spare ich mir das ge-LaTeX-e
Gas140
Verfasst am: 21. Mai 2012 13:41
Titel:
Hallo,
Mein Post bezog sich auf friedi's beitrag.
In dem Hinweis wird ja nach s integriert, bei uns nach k. Friedi hatte nur a und k vertauscht, deswegen kam etwas anderes raus.
Ob (a+k) Oder (k+a) ist egal. Das wichtige war das einmal ein a und einmal ein k vor der Klammer stand;)
Viele Grüße
TomS
Verfasst am: 21. Mai 2012 12:50
Titel:
da bin ich aber gespannt ;-)
TruEnemy
Verfasst am: 21. Mai 2012 11:13
Titel:
Falls ich heute noch dazu komme, werde ich es dir
formell erklären. Ich kann gerade schlecht LaTeX-en
TomS
Verfasst am: 21. Mai 2012 10:28
Titel:
Bei komplexen Integralen kommt es ggf. darauf an, wie du die Integrationskontur legst.
Ansonsten gilt immer - auch in der Quantenmechanik:
(a²+k²)² = (k²+a²) usw. für Zahlen bzw. Variablen a und k, auch unter dem Integral. Auch die Reihenfolge bei der Wahrscheinlichkeitsdichte ist irrelevant (auch wenn man sich angewöhnen sollte, dass das cc. links steht, denn so passt das auch wenn man Differentialoperatoren dazwischen stehen hat).
Ich sehe in dem von dir verlinkten Hinweis auch keine Anhaltspunktew, was da anders sein sollte.
Generell: was genau ist denn nun euer Problem? Ich hab' da etwas die Übersicht verloren.
TruEnemy
Verfasst am: 21. Mai 2012 08:13
Titel:
Sollte man meinen; dem ist aber nicht so, denn es macht schon einen Unterschied,
ob ich hier
oder
nehme, siehe nämlich das Hinweis-Integral:
http://s14.directupload.net/images/120517/abgtbjrp.png
TomS
Verfasst am: 21. Mai 2012 07:05
Titel:
Du rechnest hier mit Zahlen; dabei ist die Reihenfolge prinzipiell egal.
TruEnemy
Verfasst am: 21. Mai 2012 00:01
Titel:
Gas140 hat Folgendes geschrieben:
Hallo,
es ist doch im ersten Bruch im Nenner nicht 2k^2(a^2+k^2) sondern 2a^2(k^2+a^2)
Grüße
Das kann ich nicht nachvollziehen!Ich habe das gleiche Ergebnis wie Friedi!
EDIT
: Aha, es kommt also auf die Definition des Betrags-Quadrates an:
oder
? In der Vorlesung war's doch immer ersteres ... ?
EDIT 2
: Das Problem lässt sich noch weiter zurückführen, denn:
Das habe ich soeben nachgerechnet und verifiziert. Aber was ist nun hier:
oder
Sollte doch sch ... egal sein, aber dann bei der Anwendung des Hinweises
eben nicht, dort ist es entscheidend!!! Bitte erklärt mir das mal jemand ...
TruEnemy
Verfasst am: 20. Mai 2012 22:50
Titel:
OK, korrekt, und weiter geht's ...
TruEnemy
Verfasst am: 20. Mai 2012 22:38
Titel:
Sorry, verschieben, ich meinte natürlich
EDIT: Verwende
, wobei
.
Damit komme ich für die FT auf
, korrekt?
Gas140
Verfasst am: 20. Mai 2012 21:42
Titel:
TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Wie habt ihr bei der FT
gelöst?
Hallo,
das kannst du ja ganz normal integrieren, da kommt einfach ein 1/(-a-i*k) dazu. Was wir wegen hquer machen weiß ich aber leider auch immernoch nicht.
Viele Grüße
Michael
TruEnemy
Verfasst am: 20. Mai 2012 21:29
Titel:
Bin ich zu blöd, um das zu sehen? Sorry, falls ich mich dämlich anstelle.
TruEnemy
Verfasst am: 20. Mai 2012 20:09
Titel:
HeHe, hat sich seitdem viel getan
Wie komme ich nun auf die WK, Tom?
Ich habe bisher ja nur gezeigt, dass der Erwartungswert Null ist ...
Das
kommt meiner Meinung nach hier nicht vor, in dem Vorfaktor bei der FT,
denn wenn sie es Eins gesetzt hätten, wäre die WK zwischen
und
zu
berechnen!? Wiki zeigt's auch ohne
an.
TomS
Verfasst am: 20. Mai 2012 20:07
Titel:
Zwei kurze Anmerkungen - nachdem ich eine Tag offline war ;-)
1) in dem speziellen Fall verschwinden beide Randterme, also <p> = 0
2) das hquer lassen die Physiker oft aus Faulheit weg bzw. wählen die Einheiten so, dass hquer = c = 1 ist.
TruEnemy
Verfasst am: 20. Mai 2012 20:03
Titel:
Wie habt ihr bei der FT
gelöst?
Friedi
Verfasst am: 20. Mai 2012 20:00
Titel:
kann es sein, dass bei der fouriertransformation ein
im nenner des exponenten von e fehlt?
also
grüße
friedi
Gas140
Verfasst am: 20. Mai 2012 17:52
Titel:
Hallo,
das sieht doch ganz gut aus
TruEnemy
Verfasst am: 20. Mai 2012 17:30
Titel:
TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Ich mache das zwar ungern, aber sonst gehen meine Fragen unter:
@ TomS
,
Deine vorletzte Antwort habe ich mehr oder minder verstanden, aber
bei Deiner zweiten Antwort weiß ich nicht, worauf Du dich beziehst.
Wie Ihr unschwer erkönnen könnt, habe ich da ein paar Probleme:
Dass
für
Eins ist, ist klar, aber
wäre Null und somit
alles Null? Das kann nicht sein ...
Tatsächlich kommt Null raus bei beiden Termen als Grenzwert Null raus, siehe WolframAlpha:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Limit[%28x
^2%29*exp%28-x%29%2C+x+-%3E+infinity]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Limit[%28x
^2%29*exp%28-x%29%2C+x+-%3E+0]
Und wie komme ich nun auf die WK, das Teilchen zwischen
und
zu finden???
Friedi
Verfasst am: 20. Mai 2012 17:21
Titel:
genau das hab ich übersehen
also dann kommt man auf
jop... das ist jetzt hässlich
TruEnemy
Verfasst am: 20. Mai 2012 17:17
Titel:
Ich mache das zwar ungern, aber sonst gehen meine Fragen unter:
@ TomS
,
Deine vorletzte Antwort habe ich mehr oder minder verstanden, aber
bei Deiner zweiten Antwort weiß ich nicht, worauf Du dich beziehst.
Wie Ihr unschwer erkönnen könnt, habe ich da ein paar Probleme:
Dass
für
Eins ist, ist klar, aber
wäre Null und somit
alles Null? Das kann nicht sein ...
Gas140
Verfasst am: 20. Mai 2012 17:15
Titel:
Bei mir taucht in der Klammer noch ein hquer mehr auf, also
hquer^2 +1, aber sonst hab ichs auch so. Die ArcTans kannst du noch zusammen fassen und das a^3 kürzen. Danach allerdings weiß ich auch nicht mehr weiter.
Grüße
Friedi
Verfasst am: 20. Mai 2012 16:52
Titel:
ab hinweis
jetzt für k die grenzen einsetzen
stimmt das jetzt soweit?
Friedi
Verfasst am: 20. Mai 2012 16:29
Titel:
ja sorry stimmt. muss alles austauschen...
Gas140
Verfasst am: 20. Mai 2012 16:26
Titel:
Hallo,
es ist doch im ersten Bruch im Nenner nicht 2k^2(a^2+k^2) sondern 2a^2(k^2+a^2)
Grüße
Friedi
Verfasst am: 20. Mai 2012 16:23
Titel:
dann der hinweis
jetzt für k die grenzen einsetzen dann verschwindet der erste bruch und es folgt
also entweder das stimmt und ich kanns mir physikalisch auch nicht erklären, oder nich hab n fehler (oder mehrere) gemacht :-D
grüße
friedi
Gas140
Verfasst am: 20. Mai 2012 16:09
Titel:
Hallo,
bei mir sieht es ein wenig anders aus. Ich komme am Ende auf:
4/(2Pi) (hquer/(hquer^2+1) + Arctan(hquer)
Sorry wegen der Ansicht.
Allerdings ist Arctan(-x)=-Arctan(x). Bei dir würde also 0 rauskommen. Kann ich mir physikalisch zwar nicht erklären aber wäre schöner als mein Ergebnis
TruEnemy
Verfasst am: 20. Mai 2012 16:08
Titel:
Jo, habe nun für
auch
raus.
TomS
, hoffentlich mel-
dest Du dich noch, sonst gehen hier meine Fragen verloren
Friedi
Verfasst am: 20. Mai 2012 16:03
Titel:
und nu?
Friedi
Verfasst am: 20. Mai 2012 15:47
Titel:
ja da wurd n 2er zum 4er, aus unerfindlichen gründen. scheiß rumrechnerei
Friedi
Verfasst am: 20. Mai 2012 15:43
Titel:
gut dann steh ich irgendwo auf m schlauch. ich versuchs nochmal
Gas140
Verfasst am: 20. Mai 2012 15:41
Titel:
Ah doch klar, einfach ausmultiplizeren und dann stehts schon da
Gas140
Verfasst am: 20. Mai 2012 15:36
Titel:
Hmm, gute Frage :/
Hab keinen Zwischenschritt aufgeschrieben und seh's jetzt auch grad nicht mehr, aber es hatte mal Sinn gemacht
hmm...
Friedi
Verfasst am: 20. Mai 2012 15:28
Titel:
hmm ja stimmt. irgendwie ist es trotzdem komisch...
wie kommst du im übrigen auf die hinweisformel?
und dann?
Gas140
Verfasst am: 20. Mai 2012 15:20
Titel:
Hallo,
die Integrale gelten ja für den Erwartungswert, den haben wir ja aber nicht zu berechnen, denke deswgen ist unser Ansatz schon richtig.
Grüße