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[quote="Vengeance"]Hi Leute, Zwecks einer Aufgabe befasse ich mich grade mit dem Trägheitsmoment und bin bei der Gleichung J = Integral r^2 dm ziemlich ins Stocken geraten. Die Aufgabe verlangt, dass ich die Drehzahl einer Scheibe berechnen soll, auf der sich eine Person vom Rand zur Mitte hin bewegt. Aber diese Gleichung gibt mir einige Rätsel auf. Was genau bedeutet "dm"? Wie sieht das fertige Integral aus? Und wie komme ich vom Trägheitsmoment auf die Drehzahl? Da sich der Radius ja verändert (kleiner wird) dachte ich eigentlich, dass ich die Gleichung nach "r" differenzieren muss, aber dem ist wohl nicht so... Ich hoffe mir kann irgendjemand zeitnah weiterhelfen.. Wäre echt super ;)[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 31. Dez 2011 15:03<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Statt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_V dm\,f(\vec{r})"> <br /> <br />schreibt man oft auch <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_V dV\,\rho(\vec{r})\,f(\vec{r})=\int_{S^{n-1}}\!\!\!d\Omega \int_{B(\Omega)}dr\,r^{n-1}\,\rho(\vec{r})\,f(\vec{r})"> <br /> <br />Dabei steht dV für das Volumenelement in n=3 Dimensionen (oder das Flächenelement in n=2 Dimensionen), \rho für die Massendichte. <br /> <br />Im letzten Integral verwende ich dann eine Zerlegung in Polarkoordinaten (natürlich können kartesische Koordinaten besser geeignet sein), wobei S für die 2-dim. Oberfläche des 3-dim. Volumens steht (entsprechend wieder der n=2 Fall) und d\Omega für das Oberflächenelement. Aus dem Volumentelement dV resultiert dann ein dr r² in n=3 Dimensionen (dr r in n=2). B(r) steht für den r-Bereich, über den je Winkel zu integrieren ist. <br /> <br />Für die Masse gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M = \int_V dm = \int_V dV\,\rho(\vec{r})"> <br /> <br />Im Falle einer homogenen Massenverteilung ist \rho einfach eine Konstante und kann vor das Integral gezogenen werden <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M = \rho \int_V dV = \rho\,V"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>GvC</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 31. Dez 2011 14:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Vengeance hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich habe noch nicht ganz verstanden, warum die Masse unendlich klein sein soll. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Wenn Du alle infinitesimal kleinen Trägheitsmomente <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r^2\, dm"> aufsummiert (=integriert) hast, erhältst Du definitionsgemäß das gesamte Trägheitsmoment, das natürlich auch die gesamte Masse enthält. Denn Du hast ja <span style="font-weight: bold">jede </span>infinitesimal kleine Masse mit dem zugehörigen r² multipliziert. Mir scheint, Du weißt nicht, was eine <span style="font-weight: bold">Definition </span>bedeutet. Die kannst Du nicht hinterfragen, das liegt in der Natur der Definition. Wenn Geschwindigkeit definiert ist als erste Ableitung des Weges nach der Zeit, fragst Du dann auch: Warum? <br /> <br />Du beißt Dich an der falschen Stelle fest. Anstatt physikalische Definitionen zu hinterfragen, solltest Du Dir lieber Gedanken machen über die physikalischen Gesetzmäßigkeit, die dieser Aufgabe und ihrer Lösung zugrundeliegt. Denn das ist doch das, was Du bei solchen Aufgaben tun sollst: Die Anwendung physikalischer Grundgesetzmäßigkeiten zu üben. Zu solchen Grundgesetzmäßigkeiten gehören diverse Erhaltungssätze. Welcher ist hier wohl anzuwenden?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Vengeance</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 31. Dez 2011 13:43<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Jep, es gab Werte, tut mir Leid, dass ich diese nicht sofort mitnotiert habe. <br /> <br />Die Scheibe wiegt 100kg und vollführt 10 Umdrehungen pro Minute. Die Person wiegt 60kg und steht auf dem Rand, bei 3 Metern Radius. Sie nähert sich der Achse radial, bis auf einen Abstand von 0,5 Metern. <br /> <br />Nun soll die finale Drehzsahl der Scheibe ermittelt werden. <br /> <br />Zum Trägheitsmoment noch einmal: <br />Ich habe noch nicht ganz verstanden, warum die Masse unendlich klein sein soll. Schließlich sollte ja nur der Radius kleiner werden und nicht die Masse!?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>GvC</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 31. Dez 2011 01:56<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Vengeance hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Zwecks einer Aufgabe befasse ich mich grade mit dem Trägheitsmoment und bin bei der Gleichung <br /> <br />J = Integral r^2 dm ziemlich ins Stocken geraten. <br /> <br />... <br /> <br />Aber diese Gleichung gibt mir einige Rätsel auf. Was genau bedeutet "dm"?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?J=\int r^2\, dm"> ist die <span style="font-weight: bold">Definition </span>für das Trägheitsmoment. <br /> <br />dm ist die infinitesimal kleine Masse eines infinitesimal kleinen Volumens (Punktmasse) im Abstand r von der Drehachse. Alle infinitesimal kleinen Trägheitsmomente <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dJ=r^2\, dm"> werden zum Gesamtträgheitsmoment aufsummiert. Die Summation infinitesimal kleiner Elemente nennt man auch Integration. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Vengeance hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die Aufgabe verlangt, dass ich die Drehzahl einer Scheibe berechnen soll, auf der sich eine Person vom Rand zur Mitte hin bewegt. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ist das die komplette Aufgabenstellung? Keine Angabe zur Anfangsdrehzahl der Drehscheibe? Keine Angabe, ob die Masse der Drehscheibe vernachlässigt werden soll oder nicht. Falls nicht, welches ist die Masse und die Masseverteilung sowie der Radius der Drehscheibe, welche Masse hat die Person?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Vengeance</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Dez 2011 22:31<span class="gen"> </span> Titel: Trägheitsmoment und Integral</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hi Leute, <br /> <br />Zwecks einer Aufgabe befasse ich mich grade mit dem Trägheitsmoment und bin bei der Gleichung <br /> <br />J = Integral r^2 dm ziemlich ins Stocken geraten. <br /> <br />Die Aufgabe verlangt, dass ich die Drehzahl einer Scheibe berechnen soll, auf der sich eine Person vom Rand zur Mitte hin bewegt. <br /> <br />Aber diese Gleichung gibt mir einige Rätsel auf. Was genau bedeutet "dm"? <br />Wie sieht das fertige Integral aus? Und wie komme ich vom Trägheitsmoment auf die Drehzahl? <br /> <br />Da sich der Radius ja verändert (kleiner wird) dachte ich eigentlich, dass ich die Gleichung nach "r" differenzieren muss, aber dem ist wohl nicht so... <br /> <br />Ich hoffe mir kann irgendjemand zeitnah weiterhelfen.. Wäre echt super <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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