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[quote="Telefonmann"][quote="wandbasilisk"]aber was passiert hier? was passiert mit der energie des teilchens und seiner wellenfunktion über die zeit gesehen?[/quote] Hallo wandbasilisk, die Energie des Teilchens bleibt ab t=0 einfach konstant, weil man ab t=0 ein freies Teilchen ohne weitere Wechselwirkungen hat. Die zeitliche Entwicklung des Anfangszustandes wird ab t=0 durch den nichtrelativistischen Propagator eines freien Teilchens beschrieben (s. Standardliteratur). Bei der Formel, die Du angeschrieben hast, müsste man wohl noch E=p^2/m verwenden. Insgesamt bekommt man damit dann ein zerfließendes Wellenpaket, das mit der Zeit immer breiter wird. Gruß[/quote]
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wandbasilisk
Verfasst am: 17. Dez 2011 21:56
Titel:
super! alles klar, vielen dank für deine ausführliche erklärung.
Telefonmann
Verfasst am: 17. Dez 2011 21:39
Titel:
wandbasilisk hat Folgendes geschrieben:
Wenn ich deine links richtig auffasse, sollte ich im letzten Integral das E im Exponenten durch ein p^2/(2m) ersetzen, sodass dies auch zur Summation(Integral) beiträgt?
Genau so muss das gemacht werden. Ist sicher nicht ganz trivial, aber so ist das nunmal.
Gruß
Telefonmann
Verfasst am: 17. Dez 2011 21:36
Titel:
Hallo wandbasilisk,
man kann in der Quantenmechanik doch jeden Zustand des Systems als Linearkombination, bzw. Integral der Basisvektoren eines beliebigen Zustandsraumes entwickeln. So kann man z.B. die Ortswellenfunktion eines Teilchens als Integral über die Eigenfunktionen des Impulsoperators darstellen. Dabei werden die einzelnen Basisvektoren (=Eigenfunktionen des Impulsoperators) ja nach Impuls p zusätzlich mit der zugehörigen Wellenfunktion im Impulsraum gewichtet. Die einzelnen Entwicklungskoeffizienten "verschmieren" im kontinuierlichen Fall also zu der Wellenfunktion im Impulsraum. Soweit hast Du das ja bereits auch selber benutzt.
Würde man also z.b. den Impuls des Anfangszustandes messen wollen, würde man keinen fest definierten Wert bekommen, sondern mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit den einen Impuls und mit einer anderen Wahrscheinlichkeit einen anderen Impuls. Womit man eine anschauliche Erklärung für die Bedeutung der Wellenfunktion im Impulsraum
bekommt. Das Quadrat des Betrages gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, den zugehörigen Impuls p zu messen.
Nun muss man sich nur noch daran erinnern, dass die im ersten Absatz beschriebene Spektralzerlegung der Wellenfunktion für jeden Zeitpunkt durchgeführt werden kann. Macht man das, erhalten die Entwicklungskoeffizienten eine Zeitabhängigkeit, die aber
von der Energie des zugehörigen Impuls-Eigenzustandes abhängt
und deswegen ist E unter dem Integral auch keine Konstante, sondern eine Funktion der Integrationsvariablen p. Die Phase eines jeden Entwicklungskoeffizienten (=
) dreht sich also unterschiedlich schnell, je nachdem zu welchem Impuls-Eigenzustand der Entwicklungskoeffizient gehört.
Etwas übersichtlicher, bzw. anschaulicher ist die zeitliche Entwicklung von Zuständen übrigens bei diskreten Energiestufen, S. 223 im Cohen-Tannoudji = Abschnitt 3.4.2 Konservative Systeme:
http://books.google.de/books?id=E5j5whaJ3qgC&lpg=PP1&dq=cohen-tannoudji%20quantum%20mechanics&hl=de&pg=PA223#v=onepage&q&f=false
.
Konstant ist bei dem zerfließenden Wellenpaket also nur der
Erwartungswert
der Energie. Deswegen kann man trotzdem an dem System prinzipiell das gesamte Energiespektrum von 0 bis Unendlich messen. Nicht zu vergessen aber mit stark unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten, wobei mit zunehmender Energie die zugehörige Mess-Wahrscheinlichkeit natürlich immer weiter abnimmt.
wandbasilisk
Verfasst am: 17. Dez 2011 19:44
Titel:
Vielen Dank für die hilfreichen Links.
Wenn ich deine links richtig auffasse, sollte ich im letzten Integral das E im Exponenten durch ein p^2/(2m) ersetzen, sodass dies auch zur Summation(Integral) beiträgt?
Was mich aber hier verwirrt, ist folgendes: die energie des teilchens ändert sich ja im ersten moment nach weggegeben der wände nicht und wie du geschrieben hast, bleibt diese auch konstant über alle t. Deshalb dachte ich, dass ich das E im exponenten als konstante (gegeben durch die grundzustandsenergie des kastenpotentials) ansehen muss und diese nicht durch p^2/(2m) darstellen kann.
wenn ich nun p^2/(2m) einsetze mache ich ja die energie variabel in p.
heißt das dann, dass ich die energie (=grundzustandsenergie) des teilchens bekomme, wenn ich den erwartungswert der energie des wellenpaketes berechne?
wenn nicht, wie kann ich die tatsache, dass E im exponenten gleich p^2/(2m) ist und ich weiß, dass das teilchen eine konstante energie von
hat, vereinbaren?
lg
Telefonmann
Verfasst am: 17. Dez 2011 18:52
Titel:
wandbasilisk hat Folgendes geschrieben:
was meinst du genau mit, man müsste wohl noch E=p^2/m (sollte dies nicht p^2/(2m) heißen?) verwenden?
Hallo wandbasilisk,
erst mal ein Oops: Die zwei im Nenner habe ich natürlich vergessen.
Zu Deiner Frage lies bitte die folgenden zwei Abschnitte aus dem Cohen-Tannoudji, Band 1. Zum einen Punkt 1.3.1
http://books.google.de/books?id=E5j5whaJ3qgC&lpg=PP1&dq=cohen-tannoudji%20quantum%20mechanics&hl=de&pg=PA14#v=onepage&q&f=false
und Punkt 2.1.3 (Kontinuierliche Basen) für die zugrundeliegende Theorie
http://books.google.de/books?id=E5j5whaJ3qgC&lpg=PP1&dq=cohen-tannoudji%20quantum%20mechanics&hl=de&pg=PA83#v=onepage&q&f=false
Gruß
wandbasilisk
Verfasst am: 17. Dez 2011 15:44
Titel:
vielen dank schonmal.
die sache mit E, die du erwähnt hast, ist mir nicht ganz klar.
das teilchen hat ja, bevor die wände weggegeben werden, die energie
.
nachdem die wände weggegeben werden, bleibt die energie unverändert. das heißt das E in meinem inversen fourierintegral zum schluss müsste doch eben diese energie E sein.
was meinst du genau mit, man müsste wohl noch E=p^2/m (sollte dies nicht p^2/(2m) heißen?) verwenden?
lg
Telefonmann
Verfasst am: 17. Dez 2011 09:25
Titel: Nichtrelativistischer Propagator der Schrödingertheorie
wandbasilisk hat Folgendes geschrieben:
aber was passiert hier? was passiert mit der energie des teilchens und seiner wellenfunktion über die zeit gesehen?
Hallo wandbasilisk,
die Energie des Teilchens bleibt ab t=0 einfach konstant, weil man ab t=0 ein freies Teilchen ohne weitere Wechselwirkungen hat. Die zeitliche Entwicklung des Anfangszustandes wird ab t=0 durch den nichtrelativistischen Propagator eines freien Teilchens beschrieben (s. Standardliteratur).
Bei der Formel, die Du angeschrieben hast, müsste man wohl noch E=p^2/m verwenden. Insgesamt bekommt man damit dann ein zerfließendes Wellenpaket, das mit der Zeit immer breiter wird.
Gruß
wandbasilisk
Verfasst am: 17. Dez 2011 06:09
Titel: Wände des 1D Kastenpotential werden weggegeben
Meine Frage:
Ich habe eine frage zu folgender aufgabe:
Zur zeit t=0 befindet sich ein freies teilchen im grundzustand des 1D kastenpotential der breite a.
Die Wände werden dann abrupt weggegeben.
Finde die impuls-wellenfunktion
zur zeit t=0.
Finde die wellenfunktion
. Sie können das Ergebnis als unausgewertetes integral von
stehen lassen.
Meine Ideen:
So mein lösungsvorschlag wäre folgender:
Die Wellenfunktion zur zeit t=0 im grundzustand ist:
Die fouriertransformation davon ergibt
das ergebnis davon ist leicht zu berechnen, das war nicht die schwierigkeit.
so nun werden die wände weggegeben und jetzt bin ich mir nicht mehr ganz sicher. ich soll ja das ergebnis als unausgewertetes integral von
darstellen.
ich hab als erstes die zeitabhängigkeit (
mit
aus dem grundzustand) eingeführt.
das unausgewertete integral, was auch meine lösung von aufgabe b wäre, ist bei mir folgende inverse fouriertransformation:
kann das so stimmen?
mir ist physikalisch nicht ganz klar was hier passiert. das teilchen befindet sich vorher in einem eigenzustand. sobald die wände weggegeben werden, liegt ein freies teilchen vor. es ist dementsprechend nicht mehr gebunden und kann sich frei bewegen. da die wände so schnell weggegeben wurden, ändert sich die wellenfunktion und die energie des teilchens im ersten moment nicht. ein freies teilchen muss ich mithilfe eines wellenpaketes darstellen, was genau dem letzten integral entspricht.
ich kenne den fall, dass die wände schlagartig auf die doppelte breite gesetzt werden. die wellenfunktion des teilchens ändert sich im ersten moment nicht und das teilchen befindet sich in einer superposition der neuen eigenzustände.
aber was passiert hier? was passiert mit der energie des teilchens und seiner wellenfunktion über die zeit gesehen?
vielen dank für eure hilfe
lg