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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="DerDepp"]Hossa ;)

Ich verstehe bei der Aufgabe nicht, warum betont wird, dass es sich um einen Magneten handelt. Nirgendwo ist die Rede von einem Magnetfeld. Also wirkt auf den "Magneten" allein die Gravitationskraft.

Die Auslenkung aus der Ruhelage sei x. Auf den Magneten wirkt die Gravitationskraft G=m*g nach unten, also in Richtung der Auslenkung (positiv). Auf den Magneten wirkt die Rückstellkraft der Feder R=-D*x nach oben, also entgegen der Auslenkung (negativ). Die Summe aller auf den Magneten wirkenden Kräfte ist also:

[latex]F_{ges}=R+G[/latex]

Die Gesamtkraft bestimmt über das zweite Newton'sche Axiom die Bewegung des Magneten. Dies führt zu folgender Bewegungsgleichung:

[latex]m\ddot x=-Dx+mg[/latex]

Eine triviale Lösung erkennt man sofort, nämlich

[latex]x(t)=\frac{mg}{D}=\mbox{const}[/latex]

Um damit den lästigen Term "mg" aus der Bewegungsgleichung zu entfernen, setzen wir die Lösung wie folgt an:

[latex]x(t)=y(t)+\frac{mg}{D}[/latex]

Dies eingesetzt in die Bewegungsgleichung liefert eine Differentialgleichung für y=y(t):

[latex]m\ddot y(t)=-Dy(t)[/latex]

Zur Lösung multipliziert man beide Seiten mit [latex]\dot y[/latex] und integriert mit der Kettenregel über die Zeit t:

[latex]\ddot y=-\frac{D}{m}\,y\quad\Longrightarrow\quad\ddot y\cdot\dot y=-\frac{D}{m}\,y\cdot\dot y\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{2}\dot y^2=-\frac{1}{2}\,\frac{D}{m}\,y^2\quad\Longrightarrow\quad\dot y=\pm\sqrt{-\frac{D}{m}}\,y[/latex]

Division beider Seiten durch y und nochmalige Integration über die Zeit liefert:

[latex]\frac{\dot y}{y}=\pm\sqrt{-\frac{D}{m}}\quad\Longrightarrow\quad\ln y=\pm\sqrt{-\frac{D}{m}}\,t+C\quad\quad\Longrightarrow\quad y=e^{\pm\sqrt{-\frac{D}{m}}\,t}\cdot e^C[/latex]

Hierzu ist Folgendes zu sagen:

1) Wegen des Plus-Minus-Zeichens gibt es zwei Lösungen für y(t).
2) Den Faktor e^C können wir als eine Konstante schreiben.
3) Die Wurzel ist negativ, so dass wir komplexe Zahlen benötigen.

Mit Definition der Kreisfrequenz omega lauten die beiden Lösungen:

[latex]y_1(t)=Ae^{i\omega t}\quad;\quad y_2(t)=Be^{-i\omega t}\quad;\quad\omega:=\sqrt{D/m}[/latex]

Die Kombination dieser beiden Lösungen ergibt die allgemeine Lösung:

[latex]y(t)=Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}=(A+B)\cos(\omega t)+i(A-B)\sin(\omega t)[/latex]

Diese sieht schrecklich kompliziert aus. Jedoch haben wir eine schöne Anfangsbedingung, die uns hier weiter hilft. Der Magnet wird zum Zeitpunkt t=0 einfach losgelassen, also ist seine Anfangsgeschwindigkeit gleich 0. Da sich x(t) und y(t) nur um eine konstante unterscheiden, folgt daraus:

[latex]0=\dot x(0)=\dot y(0)=\left[-(A+B)\omega\sin(\omega t)+i(A-B)\omega\cos(\omega t)\right]_{t=0}=i\omega(A-B)\quad\Longrightarrow\quad A=B[/latex]

Wegen A=B reduziert sich der Ausdruck für y(t) erheblich. Da jedoch nicht y(t), sondern x(t) gesucht war, müssen wir auch die Subsitution von oben noch rückgängig machen:

[latex]x(t)=2A\cos(\omega t)+\frac{g}{\omega^2}\quad;\quad\omega=\sqrt{D/m}[/latex]

Die zweite Randbedingung ist, dass der Magnet zum Zeitpunkt t=0 eine Anfangs-Auslenkung x(0)=x0 hat:

[latex]x_0=x(0)=2A+\frac{g}{\omega^2}\quad\Longrightarrow\quad 2A=x_0-\frac{g}{\omega^2}[/latex]

Damit sind wir fertig:

[latex]x(t)=\left(x_0-\frac{g}{\omega^2}\right)\cos(\omega t)+\frac{g}{\omega^2}\quad;\quad\omega=\sqrt{D/m}[/latex]

Der Rest ist einfach... ;)[/quote]

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