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[quote="lulu83"][b]Meine Frage:[/b] In Aufgabe 18 haben Sie schon die Differentialgleichung des harmonischen Oszillators kennen ge- lernt. Zu diesem fundamentalen Modellsystem, das in der Physik vielfach angewandt wird, wollen wir ein paar weitere Betrachtungen anstellen. a) Lösen Sie die Differentialgleichung x ?(t) + ?2x(t) = e??t des harmonischen Oszillators mit der treibenden Kraft e??t, d.h. geben Sie die allgemeine Lösung an. Verwenden Sie dabei Ihr Wissen über die Lösung der zugehörigen homogenen Differential- gleichung aus Aufgabe 18. b) BestimmenSiefürIhreLösungdasRandwertproblemmitdenBedingungenx(0)=0undx(T)= 0. Bestimmen Sie die Zeiten T, für die keine wohldefinierte Lösung des Randwertproblems existiert. c) Berechnen Sie die Lösungen des gedämpften harmonischen Oszillators x ?(t) + 2?x ?(t) + ?2x(t) = 0 , wobei wir nur von einer positiven Dämpfung ? > 0 und der sinnvollen Festlegung ? > 0 ausge- hen. Unterscheiden Sie in Abhängigkeit von einer Beziehung zwischen ? und ? drei Bereiche, in denen die Lösungen der Differentialgleichung grundlegend verschiedene Bewegungen beschrei- ben. Geben Sie die Lösungen an. d) Lösen Sie für ? = 2/5 und jeweils für ? = 1/2 und ? = 2/5 das Anfangswertproblem x(0) = 1 und x ?(0) = 0. Skizzieren Sie Ihre Lösungen und einem x-t-Diagramm und diskutieren Sie diese. (4 Punkte) e) Wiederholen Sie Ihre Betrachtungen aus Teil d) für das Anfangswertproblem x(0) = 0 und x ?(0) = 1. [b]Meine Ideen:[/b] ich brauch eig nur ansätze :)[/quote]
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fomrlen
Verfasst am: 30. Nov 2011 16:43
Titel:
Deine Formeln sind nicht leselich.
lulu83
Verfasst am: 30. Nov 2011 16:15
Titel: Getriebener und gedämpfter harmonischer Oszillator
Meine Frage:
In Aufgabe 18 haben Sie schon die Differentialgleichung des harmonischen Oszillators kennen ge- lernt. Zu diesem fundamentalen Modellsystem, das in der Physik vielfach angewandt wird, wollen wir ein paar weitere Betrachtungen anstellen.
a) Lösen Sie die Differentialgleichung
x
t) + ?2x(t) = e??t
des harmonischen Oszillators mit der treibenden Kraft e??t, d.h. geben Sie die allgemeine Lösung an. Verwenden Sie dabei Ihr Wissen über die Lösung der zugehörigen homogenen Differential- gleichung aus Aufgabe 18.
b) BestimmenSiefürIhreLösungdasRandwertproblemmitdenBedingungenx(0)=0undx(T)= 0. Bestimmen Sie die Zeiten T, für die keine wohldefinierte Lösung des Randwertproblems existiert.
c) Berechnen Sie die Lösungen des gedämpften harmonischen Oszillators x
t) + 2?x
t) + ?2x(t) = 0 ,
wobei wir nur von einer positiven Dämpfung ? > 0 und der sinnvollen Festlegung ? > 0 ausge- hen. Unterscheiden Sie in Abhängigkeit von einer Beziehung zwischen ? und ? drei Bereiche, in denen die Lösungen der Differentialgleichung grundlegend verschiedene Bewegungen beschrei- ben. Geben Sie die Lösungen an.
d) Lösen Sie für ? = 2/5 und jeweils für ? = 1/2 und ? = 2/5 das Anfangswertproblem x(0) = 1 und x
0) = 0. Skizzieren Sie Ihre Lösungen und einem x-t-Diagramm und diskutieren Sie diese. (4 Punkte)
e) Wiederholen Sie Ihre Betrachtungen aus Teil d) für das Anfangswertproblem x(0) = 0 und
x
0) = 1.
Meine Ideen:
ich brauch eig nur ansätze