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[quote="yeti777"]Hallo Neko, hier meine Version zur Lösung der Aufgabe: Sei [latex]\vec{r(t)} [/latex] der Ortsvektor der Kurve und [latex]s(t)[/latex] die Bogenlänge: [latex]s(t)= \int_{0}^{t}~\mid \frac{d\vec{r(\tau)} }{d\tau} \mid ~d\tau \Rightarrow \frac{ds(t)}{dt} = \mid \frac{d\vec{r(t)} }{dt} \mid \text {(*1)}[/latex] [latex]\vec{v(t)} = \frac{d\vec{r} }{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = \frac{d\vec{r} }{ds} \cdot \mid \vec{v(t)} \mid [/latex], Kettenregel. Zu zeigen bleibt, dass [latex]\vec{t(s)} = \frac{d\vec{r} }{ds} [/latex] ein Einheitsvektor ist. [latex]\mid \vec{t(s)}\mid = \mid \frac{d\vec{r} }{ds}\mid = \mid \frac{d\vec{r}}{dt} \cdot \frac{dt}{ds} \mid= \mid \frac{d\vec{r}}{dt} \cdot \frac{1}{\frac{ds}{dt} } \mid = 1 [/latex] wegen (*1). Das vorletzte Gleichheitszeichen folgt aus dem Satz über die Differentiation der Umkehrfunktion. Die Bogenlänge s(t) erfüllt die Voraussetzungen des Satzes. Gruss yeti[/quote]
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Nachricht
yeti777
Verfasst am: 04. Mai 2005 00:07
Titel:
Hallo Neko,
hier meine Version zur Lösung der Aufgabe:
Sei
der Ortsvektor der Kurve und
die Bogenlänge:
, Kettenregel.
Zu zeigen bleibt, dass
ein Einheitsvektor ist.
wegen (*1). Das vorletzte Gleichheitszeichen folgt aus dem Satz über die Differentiation der Umkehrfunktion. Die Bogenlänge s(t) erfüllt die Voraussetzungen des Satzes.
Gruss yeti
navajo
Verfasst am: 03. Mai 2005 21:53
Titel:
Naja, da steht ja letzendlich:
also auch
und
. Ist halt ne Gleichung, ist also egal was links und was rechts steht.
Wenn man sowas hat wie "Zeige, dass A gilt, wenn B gilt". Dann isses nicht mehr egal aus welcher Richtung man ran geht.
Neko
Verfasst am: 03. Mai 2005 21:34
Titel:
Ja von der anderen seite hab ich auch erst gedacht, aber dann dachte ich, ich muss von der Definition ausgehen, die zuerst da steht. Na gut, ich schreib einfach hin, dass der Beweis andersherum genauso verläuft...
navajo
Verfasst am: 03. Mai 2005 19:52
Titel:
Huhu,
Seh ich das richtig, das
ist?
Also
?
Zitat:
und jetzt ist ja grade:
Wenn das stimmt, müsste die Ableitung von
ja
sein.
Ich komm aber auf:
(Kettenregel halt)
Imo ist also an der Stelle ein Haken an der Sache.
EDIT: Sorry, ich glaub das was ich oben geschrieben hab war falsch.
Hab mal nachgelesen, vermutlich ist s hier die Bogenlänge, also
. Dann stimmt dein Integral da oben nämlich.
EDITEDIT: Allerdings ist es imo hübscher wenn man von der anderen Seite ausgeht:
Neko
Verfasst am: 03. Mai 2005 19:26
Titel: Beweis zum Einheitstangentenvektor, kann ich das so machen?
Ich soll zeigen, dass:
äquivalent ist zu
wobei das h mit dem hütchen der Einheitstangentenvektor an die Kurve in Richtung der Bewegung sei. Glaub mein Beweis ist ein bischen suspekt, schaut ihn euch mal an, und sagt mir ob ich das so machen kann:
=
also eine "nahrhafte" 1 ergänzt, dann:
=
dann integrier ich da den Zähler und leite ihn gleichzeitig ab, darf ich ja, damit veränder ich ja nix:
=
und jetzt ist ja grade:
also bekommt man:
wobei ja
wiederum der Tangenteneinheitsvektor ist, naja und dann hat mans:
kann ich das so morgen abgeben?